2022年浙教版数学八下期末复习阶梯训练：特殊平行四边形（优生集训）

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一、综合题

一、综合题

修改时间：2022-04-24 浏览次数：165 类型：复习试卷编辑

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1. 如图1，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知四边形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 轴和 $\text{[math]}$ 轴上.直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一动点.

（1）求 $\text{[math]}$ 的长和 $\text{[math]}$ 的度数；

（2）若点 $\text{[math]}$ 是平面内任意一点，当以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形为菱形时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（3）如图2，在线段 $\text{[math]}$ 上有一动点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 分别同时从点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 出发，已知当点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 匀速运动至点 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 恰好从点 $\text{[math]}$ 匀速运动至点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .问：在运动过程中，是否存在这样的点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 的面积与 $\text{[math]}$ 的面积相等.若存在，请直接写出相应的点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由.

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2. 如图1，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .

（1）求直线 $\text{[math]}$ 的解析式；

（2）如图2，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线交 $\text{[math]}$ 轴负半轴于点 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴正半轴于点 $\text{[math]}$ ，请问： $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

（3） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 当点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上运动时，平面内是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得以点 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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3. 如图，平行四边形ABCD中，AE⊥CD于E，BF平分∠ABC与AD交于F.AE与BF交于G.

（1）延长DC到H，使CH＝DE，连接BH.求证：四边形ABHE是矩形.

（2）在（1）所画图形中，在CH的延长线上取HK＝AG，当AE＝AF时，求证：CK＝AD.

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4. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l₁：y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B，经过点B的直线l₂：y＝kx+b交x轴于点C，且l₂与l₁关于y轴对称.

（1）求直线l₂的函数表达式；

（2）点D，E分别是线段AB，AC上的点，将线段DE绕点D逆时针α度后得到线段DF.
①如图2，当点D的坐标为（﹣2，m），α＝45°，且点F恰好落在线段BC上时，求线段AE的长；

②如图3，当点D的坐标为（﹣1，n），α＝90°，且点E恰好和原点O重合时，在直线y＝3﹣ $\text{[math]}$ 上是否存在一点G，使得∠DGF＝∠DGO？若存在，直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由.

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5. 已知点E是正方形ABCD的边CD上的动点，连接AE，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F.

（1）如图1，求证：FB＝ED；

（2）点G为正方形ABCD的对角线BD上一点，连接AG，GC，GF，且GC＝GF.
①如图2，求∠GFA的度数；

②如图3，过点G作MH $\text{[math]}$ AE，分别交AF，AB，DC于点M，N，H.若AB＝3，BF＝1，求MH的长.

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6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是矩形，已知点B坐标为（10，8），M，N分别是OC，AB的中点．

（1）求证：四边形BCMN是矩形；

（2）点F是直线BC上一点，连接OF交直线MN于点E，当OF＝OA时，求直线AF的解析式；

（3）在（2）的条件下，直线l经过点A，且解析式为y＝kx+b（k≠0），若直线l与线段EM相交，求k的取值范围．

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7. 如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD ， BC交于M ， N两点，连接CM ， AN ．

（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；

（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC ，求DM的长．

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8. 阅读短文，解决问题
定义：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”﹒例如：如图1，四边形 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，则称菱形 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“亲密菱形”．

如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“亲密菱形”；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的周长；

（3）如图3， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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9. 如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE= $\text{[math]}$ AD（n为大于2的整数），连接BE，BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG。

（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；

（2）当AB=4，n=3时，求FG的长；

（3）记四边形BFEG的面积为S₁ ，矩形ABCD的面积为S₂ ，当 $\text{[math]}$ 时，求n的值（直接写出结果，不必写出解答过程）。

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10. 如图，在平面直角坐标系中，直线l₁：y=- $\text{[math]}$ +x+6分别与x轴、轴交于点B、C，且与直线l₂：y= $\text{[math]}$ x交于A。

（1）分别求出A、B、C的坐标；

（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为l₂ ，求直线CD的函数表达式；

（3）在(2)的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

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11. 如图1，直线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，与x轴交于点 $\text{[math]}$ .

（1）按题意填表：

（2）由（1）中表格中的数据可以发现：

①对于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = ， $\text{[math]}$ = ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

②直线 $\text{[math]}$ 一定经过的点的坐标为；

（3）如图2，正方形OPQR是△ $\text{[math]}$ 的内接正方形，设正方形的边长为m ，

求证：1＜m＜2.

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12. 在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边AD，AB，CD上（点E、F、G不与正方形的顶点重合），BE，FG相交于点O，且FG⊥BE.

（1）猜想BE与FG的数量关系并证明；

（2）证明：DG=AF+AE；

（3）若AE= $\text{[math]}$ ，FG=4，请直接写出点C到直线BE的距离；

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13. 如图，已知 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，与边 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；

（3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则菱形 $\text{[math]}$ 的面积是多少？

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14. 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的点，连接CE，过点D作DF⊥CE，分别交BC、CE于点F、G

（1）求证：CE=DF；

（2）若AB=3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△DCG的面积为，CG+DG的长为

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15. 如图，在矩形ABCD中，AB =2，E、F分别是边BC，AD上的点，连接EF，将四边形CEFD沿EF折叠，C、D的对应点分别为点G、H，EG交边AD于点M，延长HF交边BC于点N

（1）求证：四边形EMFN是菱形；

（2）若FN⊥BC，直接写出四边形EMFN的一条对角线的长；

（3）若EF=MF，求EN的长

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16. 如图①，四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上一点，连接AE、CE

（1）求证：AE=CE；

（2）如图②，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，点O为BP的中点，连接OE。若∠PBC=30°，求∠POE的度数；

（3）在(2)的条件下，若OE= $\text{[math]}$ ，求CE的长。

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17. 如图所示，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D从点C出发沿 $\text{[math]}$ 方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿 $\text{[math]}$ 方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点达到终点时，另一个点也随之停止运动．设点 $\text{[math]}$ 运动的时间为t秒（ $\text{[math]}$ ）．过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）四边形 $\text{[math]}$ 可能成为菱形吗？如果可能，求出相应的t值；如果不可能，说明理由．

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18. 如图：在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，点E在边 $\text{[math]}$ 上，连接BE、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点G是 $\text{[math]}$ 边的中点．

（1）求 $\text{[math]}$ 的度数．

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．

（3）判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状并证明．

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19. 如图，在▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ．

（1）求证： △ABE≌△CDF ；

（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.

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20. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E．

（1）如图1，若∠BAE＝30°，AE＝3，求菱形ABCD的周长及面积；

（2）如图2，作AF⊥CD于点F，连接EF，BD，求证：EF∥BD；

（3）如图3，设AE与对角线BD相交于点G，若CE＝4，BE＝8，四边形CDGE和△AGD的面积分别是S₁和S₂ ，求S₁﹣S₂的值．

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21. 如图，四边形ABCD为菱形，P为对角线BD上一点，连接AP并延长交射线BC于点E，连接PC．

（1）求证：∠AEB＝∠PCD；

（2）当PA＝PD且PC⊥BE时，求∠ABC的度数；

（3）若∠ABC＝90°，△PCE是等腰三角形．直接写出∠PEC的度数．

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22. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．

（1）证明平行四边形ECFG是菱形；

（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，
①求证：△DGC≌△BGE；

②求∠BDG的度数；

（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．

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23. 如图所示的是与菱形有关的三个图形．

（1）如图1，AC是菱形ABCD的对角线，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD上的中点，连接AE、EF、AF．若AC＝3，则CE+CF的长为．

（2）如图2，在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC上的点，连接AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD于点F，连接EF．若BC＝3，求CE+CF的长．

（3）在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是边BC延长线上的点，连接AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD的延长线于点F，连接EF．当BC＝3，EF⊥BC时，在图3中，将图形补充完整并求△AEF的周长．

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24. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线MN//AB， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点时，四边形 $\text{[math]}$ 是什么特殊四边形?说明你的理由；

（3）在（ $\text{[math]}$ ）的条件下，当 $\text{[math]}$ 的大小满足什么条件时，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形?请说明你的理由．

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25. 请认真完成下列数学活动
典例再现：如图1，▱ABCD的对线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE＝OF．

（1）尝试发现
按图1填空：
①若▱ABCD的周长是24，OE＝2，则四边形ABFE的周长为；
②若▱ABCD的面积是20，则四边形ABFE的面积是．

（2）应用发现
如图2，在菱形ABCD中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．若AC＝ $\text{[math]}$ ， AD＝6，求四边形ABFE的面积．

（3）应用拓展
如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD，若∠BAD＝90°，AB＝2，AC＝ $\text{[math]}$ ，则△ABC的面积是．

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26. 某数学兴趣小组在课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一动点（点 $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 右侧作正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）观察猜想
如图1，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时，

① $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系为： ▲ ；

② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系为： ▲ ；

请将结论直接写在横线上，并给予证明；

（2）数学思考
如图2，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，（1）中的①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出符合题意结论再给予证明．

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