备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（2）

修改时间：2023-05-15 浏览次数：124 类型：三轮冲刺编辑

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一、真题

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式及点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）如图1，若点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点 $\text{[math]}$ 是第一象限内抛物线上的动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 中有某个角的度数等于 $\text{[math]}$ 度数的2倍时，请求出满足条件的点 $\text{[math]}$ 的横坐标．

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2. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 点，直线 $\text{[math]}$ 方程为 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $\text{[math]}$ 为抛物线上一点，若 $\text{[math]}$ ，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（3）点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一点，若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

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3. 如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图像交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度沿线段 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度沿线段 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 同时出发．设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒（ $\text{[math]}$ ）．当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 的面积最大？最大面积是多少？

（3）已知 $\text{[math]}$ 是抛物线上一点，在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $\text{[math]}$ 坐标；若不存在，请说明理由．

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4. 已知抛物线 $\text{[math]}$ （a，b，c是常数， $\text{[math]}$ ）的顶点为P，与x轴相交于点 $\text{[math]}$ 和点B．

（1）若 $\text{[math]}$ ，
①求点P的坐标；
②直线 $\text{[math]}$ （m是常数， $\text{[math]}$ ）与抛物线相交于点M，与 $\text{[math]}$ 相交于点G，当 $\text{[math]}$ 取得最大值时，求点M，G的坐标；

（2）若 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当 $\text{[math]}$ 的最小值为5时，求点E，F的坐标．

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5. 综合与探究
如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线 $\text{[math]}$ 轴于点D，作直线BC交PD于点E

（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；

（2）当 $\text{[math]}$ 是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）连接AC，过点P作直线 $\text{[math]}$ ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得 $\text{[math]}$ ，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

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6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A，B两点，点B的坐标是 $\text{[math]}$ ，顶点C的坐标是 $\text{[math]}$ ， M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点G．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ ，且直线 $\text{[math]}$ 时，求证：点N与点M关于y轴对称；

（3）如图2，直线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点H，是否存在点M，使得 $\text{[math]}$ ．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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7. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．

（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；

（2）若点M在直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使 $\text{[math]}$ 面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）

（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）

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8. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ 两点（A在B的左侧），与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，点P在抛物线上，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 并延长交x轴于点E，连接 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求点P的坐标；

（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段 $\text{[math]}$ 交于点G，当 $\text{[math]}$ 时，求点P的横坐标．

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9. 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）求点B，点C的坐标；

（2）如图1，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当S取最大值时，求m的值；

（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接 $\text{[math]}$ ，点P在第一象限的抛物线上， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点Q，是否存在点P，使 $\text{[math]}$ ，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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10. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．

（1） ①求抛物线的函数表达式
②并直接写出直线AD的函数表达式．

（2）点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE， $\text{[math]}$ 的面积记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积记为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求点E的坐标；

（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为 $\text{[math]}$ ，点C的对应点 $\text{[math]}$ ，点G的对应点 $\text{[math]}$ ，将曲线 $\text{[math]}$ ，沿y轴向下平移n个单位长度（ $\text{[math]}$ ）．曲线 $\text{[math]}$ 与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，直接写出P的坐标．

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11. 如图1，抛物线y＝ax²+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；

（3）如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；

（4）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．

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12. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，交y轴于点C．

（1）求抛物线的表达式；

（2） D是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一动点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N，当 $\text{[math]}$ 的值最大时，求点D的坐标；

（3） P为抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点P作 $\text{[math]}$ 交抛物线对称轴于点Q，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出点P的横坐标．

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13. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点 $\text{[math]}$ 是第三象限抛物线上一点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为12，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

（3）在（2）的条件下，若点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ，当直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交所成锐角为 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

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二、模拟预测

14. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ 的抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ．

（1）直接写出点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标及 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 时有最大值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）当 $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．直接写出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式．

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15. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ，顶点为B．

（1） $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 时，求抛物线的顶点B的坐标；

（2）求抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的另一个公共点的坐标 $\text{[math]}$ 用含a，c的式子表示 $\text{[math]}$ ；

（3）若直线 $\text{[math]}$ 经过点B且与抛物线 $\text{[math]}$ 交于另一点 $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的取值范围．

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16. 如图，已知抛物线y＝ax²+bx+c经过原点O（0，0）、A（2，0），直线y＝2x经过抛物线的顶点B，点C是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结BC、OC、AB，过点C作CE∥x轴，分别交线段OB、AB于点E、F．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当BC＝CE时，求证：△BCE∽△ABO；

（3）当∠CBA＝∠BOC时，求点C的坐标．

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17. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是 $\text{[math]}$ ，抛物线的对称轴是直线 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）连接 $\text{[math]}$ ，若点P为第四象限内抛物线上一点，且 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；

（3）过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，过D点作 $\text{[math]}$ 轴于点E得到矩形 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿x轴向右平移，当B点与E重合时结束，设平移距离为t， $\text{[math]}$ 与矩形 $\text{[math]}$ 重叠面积为S，请直接写出S与t的函数关系．

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18. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）．

（1）当 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的表达式及顶点坐标；

（2）当 $\text{[math]}$ 经过坐标原点时，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为点 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 面积的2倍？若存在，求出此时点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，说明理由；

（3）若 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 只有一个交点，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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19. 在平面直角坐标系中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）点P是直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上一动点，设三角形 $\text{[math]}$ 的面积为S，求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标；

（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

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20. 抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左边）， $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，且在直线 $\text{[math]}$ 下方的，若以 $\text{[math]}$ 为圆心的作 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相切时，求 $\text{[math]}$ 最大半径 $\text{[math]}$ 及此时 $\text{[math]}$ 坐标；

（3）如图2， $\text{[math]}$ 是抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称的直线交抛物线于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ 的纵坐标分别是 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的数量关系．

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21. 综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，点C的坐标为 $\text{[math]}$ ．

（1）求二次函数的表达式和点B的坐标．

（2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形时，求点P的坐标．

（3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接 $\text{[math]}$ ，抛物线上是否存在点M，使 $\text{[math]}$ ？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 综合与探究
如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C，且 $\text{[math]}$ ，点D是抛物线上第一象限内的一个动点，设点D的横坐标为m．连接 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）过点D作与y轴的平行线的直线l，与 $\text{[math]}$ 交于点E，当 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为底边的等腰三角形时，求点D的坐标．

（3）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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23. 如图1，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为A，点M是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线的一动点，过点M作 $\text{[math]}$ 轴，交 $\text{[math]}$ 于点E．

（1）求抛物线的解析式和直线 $\text{[math]}$ 的解析式；

（2）当点E是 $\text{[math]}$ 的三等分点时，求此时点M的坐标；

（3）如图2，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于A，F两点， $\text{[math]}$ ，若点Q是 $\text{[math]}$ 轴上一点，且 $\text{[math]}$ ，请直接写出点Q的坐标．

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24. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在的直线折叠，得到 $\text{[math]}$ ，点A的对应点为D．

（1）求点A，B，C的坐标．

（2）求直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式．

（3）在抛物线上是否存在点P，使 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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25. 已知，二次函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的一个交点为 $\text{[math]}$ ，且过 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 点．

（1）求a、b、c的值，并写出该抛物线的顶点坐标；

（2）将二次函数 $\text{[math]}$ 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到的新抛物线，当 $\text{[math]}$ 时，y随x增大而增大，当 $\text{[math]}$ 时，y随x增大而减小，若m是整数，请求出所有符合条件的新抛物线的解析式；

（3）已知M、P、Q是抛物线 $\text{[math]}$ 上互不重合的三点，已知P、Q的横坐标分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M与点P关于该抛物线的对称轴对称，求 $\text{[math]}$ ．

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26. 如图，在平而直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）直线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线 $\text{[math]}$ 交于点M，记 $\text{[math]}$ ，试求m的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标：若不存在，请说明理由．

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27. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点D的坐标为 $\text{[math]}$ ，并与x轴交于点A，点 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上一点（不与点D重合），直线 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 的面积分成 $\text{[math]}$ 两部分，求点P的坐标；

（3）点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，运动时间为t秒，当 $\text{[math]}$ 时，求t的值．

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28. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 恰好经过 $\text{[math]}$ 两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的面积为6，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（3）点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标．

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29. 如图1，已知抛物线y=-x2-4x+5交x轴于点A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD．

（1）求直线AD的解析式．

（2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x轴上两点，其中（-5＜m＜-3.5）EE′、FF′分别平行于y轴，交抛物线于点E′和F′，交AD于点M、N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使得|RE′-RF′|值最大，请求出点R的坐标及|RE′-RF′|的最大值．

（3）如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底边的等腰三角形，若存在，请出点P的坐标及△PAC的面积，若不存在，请说明理由．

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30. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点 $\text{[math]}$ ，点P为线段 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交抛物线于点H，连结 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 时，求点H的坐标；

（3）已知点E为x轴上一动点，点Q为第二象限抛物线上一动点，以 $\text{[math]}$ 为斜边作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，请直接写出点E的坐标．

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