2022年浙教版数学七下期中复习阶梯训练：平行线（优生集训）

修改时间：2022-04-08 浏览次数：193 类型：复习试卷编辑

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一、综合题

1. 已知点C在射线OA上.

（1）如图①，CD $\text{[math]}$ OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；

（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）

（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系.

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2. 如图，直线 $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ ，一块三角板的顶点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点. $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）如图1， $\text{[math]}$ ，则
① $\text{[math]}$ ▲ °；

②若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的角平分线交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ▲ °.

（2）如图2，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的平分线上，连 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.

（3）如图3，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ °（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）.

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3. 光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用.例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理.

（1）提词器的原理如图①，AB表示平面镜，CP表示入射光线，PD表示反射光线，∠CPD＝90°，求∠APC的度数；

（2）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，a∥b.平面镜AB与BC的夹角∠ABC＝ $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .

（3）如图③，若 $\text{[math]}$ ＝108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD＝ $\text{[math]}$ （90°＜ $\text{[math]}$ ＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的度数.（可用含x的代数式表示）.

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4. （基础知识）

（1）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales ，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于 $\text{[math]}$ ”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．
已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中，

求证： $\text{[math]}$ ．

证明：延长线段 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，并过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ （已作），

∴    ▲   $\text{[math]}$ （两直线平行，内错角相等），

    ▲   $\text{[math]}$ （两直线平行，同位角相等）．

∵    ▲   （平角的定义），

∴ $\text{[math]}$ （等量代换）．

（2）（实践运用）如图1，线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，试证明： $\text{[math]}$ ．
证明：

（3）（变化拓展）

①如图2， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别平分 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为 $\text{[math]}$ ；

②如图3，直线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为 $\text{[math]}$ ．

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5. 如图1， $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 边上，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$

（2）若点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上运动，保证点 $\text{[math]}$ 存在且不与点 $\text{[math]}$ 重合.探究：当点 $\text{[math]}$ 满足的怎样的位置条件， $\text{[math]}$ 成立?请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由.

（3）在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ 成立，直接写出 $\text{[math]}$ 与ZEDH之间的数量关系

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6. 上学期我们利用三角板探究了两个角之间的关系，现在我们利用量角器来开展两角之间数量关系的探究活动.已知射线 $\text{[math]}$ ，连接AB，P是射线AM上的一个动点（不与点A重合）.

（1）如图1，当PB平分 $\text{[math]}$ 时，利用量角器探究发现 $\text{[math]}$ ，请说明理由.

（2）如图2，BC，BD分别平分 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，分别交射线AM于点C，D，利用量角器探究发现 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系保持不变，请写出它们的关系，并说明理由.

（3）在（2）的条件下，点P继续在射线AM上运动，当运动到使 $\text{[math]}$ 时，我们发现 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间存在某种数量关系，请你用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ .

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7. 已知 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的两点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

（1）如图①，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

（2）如图②，若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 下方一点， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

（3）如图③，若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上方一点，连接、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的延长线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.

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8. 已知：任何一个三角形都满足三角形三内角和等于 $\text{[math]}$ ，我们把这个结论称之为三角形三内角和定理.如图1， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，请根据题目条件，结合三角形三内角和定理，探究下列问题：

（1）如图2，在图1基础上作： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

（2）如图3，在图1基础上作：过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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9. 已知：AB∥CD ．

（1）探究∠B、∠BED、∠D之间的数量关系，并说明理由；

（2）利用上述中的结论，
①如图2，已知AB∥CD ，试探究∠E、∠G、∠B、∠F、∠D之间的数量关系，并说明理由；

②如图3，已知AB∥CD ，请直接写出∠B、∠D、∠E₁、∠E₂……∠En、∠F₁、∠F₂…∠F_n₊₁之间的数量关系．

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10. 直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一定点， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一动点，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数是°．

（2）如图2，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

（3）若 $\text{[math]}$ 的角平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）．

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11. 如图1，已知直线CD∥EF ，点A ， B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．

（1）若∠DAP＝40°，∠FBP＝70°，则∠APB＝

（2）猜想∠DAP ， ∠FBP ， ∠APB之间有什么关系？并说明理由；

（3）利用（2）的结论解答：
①如图2，AP₁ ， BP₁分别平分∠DAP ， ∠FBP ，请你写出∠P与∠P₁的数量关系，并说明理由；

②如图3，AP₂ ， BP₂分别平分∠CAP ， ∠EBP ，若∠APB＝β，求∠AP₂B ．（用含β的代数式表示）

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12. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是截线 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数：

（2）如图1，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的平分线交于 $\text{[math]}$ ，问： $\text{[math]}$ 是否为定值？若是定值、请求出定值：若不是，说明其范围

（3） ①如图2，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上运动时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的平分线交于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为 ▲ ．
②当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 等分线交于 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数（直接用含 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的代数式表示，不需说明理由）．

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13. 在三角形ABC中，点D在线段AC上，ED $\text{[math]}$ BC交AB于点E ，点F在线段AB上（点F不与点A ， E ， B重合），连接DF ，过点F作FG⊥FD交射线CB于点G ．

（1）如图1，点F在线段BE上，用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，并证明；

（2）如图2，点F在线段BE上，求证：∠ABC+∠BFG－∠EDF=90°；

（3）当点F在线段AE上时，依题意，在图3中补全图形，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，不需证明．

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14. 如图

（1）问题情境：如图1，AB//CD ， ∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB ，通过平行线性质，可得∠APC＝．

（2）问题迁移：如图3，AD//BC ，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α ， ∠BCP＝∠β ．
当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．

（3）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．

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15. 如图

（1）如图1，已知点A是BC上方的一点，连接AB，AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．
阅读并补充下面的求解过程，

解：过点A画ED∥BC．

根据“”，可以得到∠B＝，∠C＝∠DAC．

而∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．

（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数（提示：过点C画CF∥AB）．

（3）如图3，AB∥EF，BC⊥DC于点C，设∠B＝x，∠D＝y，∠E＝z，请用一个含x，y，z的等式表示∠B，∠D，∠E三者之间的数量关系．（直接写出结果）

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16. 如图，直线PQ∥MN ．

（1）若把一块三角尺（ $\text{[math]}$ ）按如图甲方式放置，点D ， E ， F是三角尺的边与平行线的交点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ＝度；

（2）若点C是PQ、MN之间（不在直线PQ ， MN上）的一个点，且∠1与∠2都是锐角，如图乙，写出∠DCE与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由；

（3）将图甲中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG ，且有∠CEG＝∠CEM ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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17. 我区防汛指挥部在一河道的危险地带两岸各安置一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A光射线自AM顺时针旋转至AN便立即逆时针旋转至AM，如此循环.灯B光射线自BP顺时针旋转至BQ便立即逆时针旋转至BP，如此循环.两灯交叉照射且不间断巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a，b满足(a﹣4b)²+(a+b﹣5)²＝0．若这一带江水两岸河堤相互平行，即PQ∥MN，且∠BAN＝60°．根据相关信息，解答下列问题.

（1） a=，b=.

（2）若灯B的光射线先转动24秒，灯A的光射线才开始转动，在灯B的光射线到达BQ之前，灯A转动几秒，两灯的光射线互相平行？

（3）如图2，若两灯同时开始转动照射，在灯A的光射线到达AN之前，若两灯射出的光射线交于点C，过点C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动的过程中，∠BAC与∠BCD间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出这两角间的数量关系；若改变，请求出各角的取值范围．

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18. 已知直线AD∥EC，直线DE分别与AD，EC交于D，E两点，点B是直线DE上的一个动点，试探究∠ABC与∠1，∠2之间的数量关系.

（1）如图①，当点B在线段DE上运动（点B不与D，E重合）时，若∠1＝25°，∠2＝15°，则∠ABC＝°；猜想：此时数量关系是：∠ABC＝，请说明理由；

（2）如图②，当点B在点D的上方运动（A，B，C三点不在同一直线上）时，猜想：此时数量关系是：∠ABC＝，请说明理由；

（3）如图③，当点B在点E的下方运动（A，B，C三点不在同一直线上）时，猜想：此时数量关系是：∠ABC＝.

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19. 如图，已知AM//BN， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上一动点（与点 $\text{[math]}$ 不重合）， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别平分 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，分别交射线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的度数；

（2）在点P的运动过程中，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律.

（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数是，并说明理由.

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20. 探究题
已知：如图1，AB∥CD，CD∥EF．求证：∠B＋∠BDF＋∠F＝360°．

老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究

（1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是．

（2）接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线AB、EF，然后在平行线间画了一点 $\text{[math]}$ ，连接BD，DF后，用鼠标拖动点 $\text{[math]}$ ，分别得到了图2、图3、图4，小颖发现图3正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图2和图4中的 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量和计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．
请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：

①猜想图2中∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系并加以证明；

②补全图4，直接写出∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系： ▲ ．

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21. 如图，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，E、F在 $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$

（1）求 $\text{[math]}$ 的度数；

（2）若平行移动 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．

（3）在平行移动 $\text{[math]}$ 的过程中，是否存在某种情况，使 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 度数；若不存在，说明理由．

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22. 已知 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；

（2）如图，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在的直线交于点 $\text{[math]}$ ．
①如图2，当点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

②如图3，当点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的右侧时，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请你求出 $\text{[math]}$ 的度数．（用含有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的式子表示）

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23. 同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答：

（1）如图1，∠α和∠β具有怎样的数量关系？请说明理由；

（2）如图2，∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q，求∠FQG的大小；

（3）如图3，点P是线段AD上的动点（不与A，D重合），连接PF、PG， $\text{[math]}$ 的值是否变化？如果不变，请求出比值；如果变化，请说明理由．

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24. 如图，已知直线 $\text{[math]}$ ，直线l与直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别交于点C和点D，点P是直线l上一动点，点A在直线 $\text{[math]}$ 上，点B在直线 $\text{[math]}$ 上，且点A和点B位于直线l同一侧．

（1）如图（1），当P点在线段CD（不含端点C和D）上运动时，求证： $\text{[math]}$ ．

（2）如图（2），当点P运动到直线 $\text{[math]}$ 上方时，试写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 三个角的数量关系，并证明．

（3）如图（3）当点P运动到直线 $\text{[math]}$ 下方时，直接写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 三个角的数量关系．

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25. 如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线．

（1）若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

（2）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的内部，且 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；

（3）在（2）的条件下，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 绕着 $\text{[math]}$ 点旋转，但与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 始终有交点，问： $\text{[math]}$ 的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．

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