浙教版数学八下专题复习：特殊平行四边形（优生集训）

修改时间：2022-04-15 浏览次数：90 类型：复习试卷编辑

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一、综合题

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一动点（点 $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 重合），以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 右侧作正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$

（1）探究猜想如图1，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时，
① $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系为；

② $\text{[math]}$ 之间的数量关系为；

（2）深入思考：如图2，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.

（3）拓展延伸如图3，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，正方形 $\text{[math]}$ 对角线交于点 $\text{[math]}$ .若已知 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的长.

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2. 如图所示，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，在 $\text{[math]}$ 轴上有一点 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的面积；

（2）动点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点以每秒1个单位的速度沿 $\text{[math]}$ 轴向左移动，求 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的移动时间 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式；

（3）当动点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点 $\text{[math]}$ ，使以点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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3. 如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是 $\text{[math]}$ ．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F ．

（1）求点D的坐标；

（2）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M ，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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4. 如图

如图①，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC上，AF与DE相交于点G，AF＝DE，求证：∠DGF＝90°.

（1）请完成上题的证明过程.

（2）如图②，在菱形ABCD中，点E在AB上，点F在射线BC上，AF与DE相交于点G，AF＝DE，求证：∠DGF＝∠B.

（3）如图③，已知四边形ABCD，利用直尺和圆规作线段EF，使点E、F分别在AB、CD上，且满足EF＝AC，EF与AC相交所形成的锐角等于∠B.

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5. 猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上．连结AF，若M为AF的中点，连结DM，ME，

（1）试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论．

（2）拓展与延伸：
①若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为；

②如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，猜想并证明DM和ME的关系．下面给出部分证明过程，请把推理过程补充完整．

证明：如图③，连结AC．

∵四边形ABCD、四边形ECGF都是正方形，

∴∠DAC=∠DCA＝∠DCE＝∠CFE＝45°，

∴点E在AC上．

∴∠AEF＝∠FEC＝90°．

又∵点M是AF的中点，

∴ME＝ $\text{[math]}$ AF．

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6. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发以每秒1个单位长度的速度沿 $\text{[math]}$ 轴向右运动，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发以每秒3个单位长度的速度沿 $\text{[math]}$ 轴向左运动，两点同时出发.分别过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，分别交直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请你在图1中画出图形，猜想四边形 $\text{[math]}$ 的形状（点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合时除外），并证明你的猜想；

（2）在（1）的条件下，当点 $\text{[math]}$ 运动秒时，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形（直接写出结论）．

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7. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△COB沿BC翻折，点O恰好落在AB边的点D处，BC为折痕．

（1）求线段AB的长；

（2）求直线BC的解析式；

（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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8. 将一块直角三角板的直角顶点和矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O重合，如图（①→②→③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．

（1）图①（三角板一直角边与OD重合）中，连接DN，则BN与DN的数量关系是，进而得到BN，CD，CN的数量关系是；

（2）写出图③（三角板一边与OC重合）中，CN，BN，CD的数量关系是；

（3）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．

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9. 两个完全相同的矩形纸片ABCD ， BFDE按如图所示放置，已知AB＝BF＝8，BC＝16．

（1）求证：四边形BHDG是菱形；

（2）求四边形BHDG的周长．

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10. 反比例函数y₁= $\text{[math]}$ （x>0，k≠0）的图象经过点（1，3），点P是一次函数y₂=-x+6图象上的一个动点，如图所示，设点P的横坐标为m，且满足-m+6> $\text{[math]}$ ，过点P分别作PB⊥x轴，PA⊥y轴，垂足分别为B，A，与反比例函数分别交于D，C两点，连结OC，OD，CD．

（1）求k的值并结合图象求出m的取值范围；

（2）在点P运动过程中，若BD=2PD，求点P的坐标；．

（3）将△OCD沿着直线CD翻折，点0的对应点为点O'，得到四边形O'COD，问：四边形O'COD能否为菱形？若能，求出点P坐标；若不能，说明理由。

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11. 已知矩形ABCD中，点E为AD上一点，连接BE、CE，∠BCE的平分线与AD交于点H，HG垂直平分BE，连接BH

（1）如图1，①求证：△ABH≌△DCE；②若AE=8，BE=10，求△EHC的面积；

（2）如图2，若∠ECD=30°，F是CE的中点，连接GF，判断四边形GFEH的形状，并证明。

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12. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与坐标轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的值和点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）求直线 $\text{[math]}$ 的解析式；

（3）若点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴，垂足分别为点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 坐标，若不存在，请说明理由.

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13. 已知：如图四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°.

（1）如图1，若点E，F分别在边BC、CD上，延长线段CB至G，使得BG＝DF，若BE＝4，BG＝3，求EF的长；

（2）如图2，若点E，F分别在边CB、DC延长线上时，求证：EF＝DF﹣BE；

（3）如图3，如果四边形ABCD不是正方形，但满足AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝8，DC＝12，CF＝6，请你直接写出BE的长.

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14. 如图1，已知四边形 $\text{[math]}$ 和四边形 $\text{[math]}$ 都是正方形，且 $\text{[math]}$ .连接 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .如果正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转到某一位置恰好使得 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的面积.

（2）求证： $\text{[math]}$ .

（3）如图2，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点且 $\text{[math]}$ 时，如点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的一个动点，以 $\text{[math]}$ 为边向左侧作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值.

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15. 如图1，在矩形ABCD中，AM平分∠BAD，交BC于点M，点N是AD上的一点，连接MN，MD，且MN＝MD，过点D作DF⊥MN于F，DF延长线交AM于E，过点E作EP⊥AD于P.

（1）如图1，①若CD＝5，AD＝7，求线段CM的长；
②求证：△PED≌△CMD.

（2）如图2，过点F作FH⊥CD于H，当AM＝AD时，求 $\text{[math]}$ 的值.

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16. 在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，4），点B坐标为（﹣3，0），连接AB，过点A作AC⊥AB交x轴于点C，点E是线段AO上的一动点.

（1）如图1，当AE＝3OE时，
①求直线BE的函数表达式；

②设直线BE与直线AC交于点D，连接OD，点P是直线AC上的一动点（不与A，C，D重合），当S_△BOD＝S_△PDB时，求点P的坐标；

（2）如图2，设直线BE与直线AC的交点F，在平面内是否存在点M使以点A，E，F，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请简述理由.

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17. 在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E为射线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点F，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为邻边作矩形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

（1）发现问题：如图1，当点E在线段 $\text{[math]}$ 上时.
①求证四边形 $\text{[math]}$ 是正方形；

②猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由.

（2）类比探究：当点E运动到如图2所示的位置时，求 $\text{[math]}$ 的度数.

（3）拓展运用：如图3，当点E在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，若正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

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18. 在平面直角坐标系中，直线y＝kx+8k（k是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为（0，6）.

（1）求点A的坐标；

（2）如图1，将直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点C，求直线BC的解析式；

（3）在（2）的条件下，直线BC上有一点M，坐标平面内有一点P，若以A、B、M、P为顶点的四边形是菱形，请直接写出点P的坐标.

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19. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 轴上一点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点（不与点C重合），过点P作 $\text{[math]}$ 轴交直线 $\text{[math]}$ 于点M.设点P的横坐标为m.

（1）直接写出点P，M的坐标P，M（用含m的式子表示）；

（2）若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）试探究在坐标平面内是否存在点N，使得以O，C，M，N为顶点的四边形是以CM为边的菱形？若存在，求出m的值，并直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由.

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20. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 BD 上一动点，AE 的延长线交 CD 于点 F，交 BC 的延长线于点 G，M 是 FG 的中点.

（1）求证： ∠DAE=∠DCE；

（2）判断线段 CE 与 CM 的位置关系，并证明你的结论；

（3）当 $\text{[math]}$ ，并且 $\text{[math]}$ 恰好是等腰三角形时，求 DE 的长.

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21. 已知： $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 对角线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，垂足分别为 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

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22. 李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、一次函数、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题．
“将军饮马”问题的探究与拓展

八年级三班李明

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从 $\text{[math]}$ 地出发到河边 $\text{[math]}$ 饮马，然后再到 $\text{[math]}$ 地军营视察，怎样走路径最短？

（数学模型）如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 同旁的两个定点．在直线 $\text{[math]}$ 上确定一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的值最小．

（问题解决）作点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 即为所求．此时， $\text{[math]}$ 的值最小，且 $\text{[math]}$ ．

（1）（模型应用）
问题1．如图2，经测量得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点到河边 $\text{[math]}$ 的距离分别为 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，且 $\text{[math]}$ 米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长．

（2）问题2．如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

（3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ．

请在 $\text{[math]}$ 轴上确定一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的值最小，并求出 $\text{[math]}$ 的坐标；

（4）请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值．

（5）（模型迁移）
问题4．如图5，菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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23. 如图，D是等边三角形ABC边BC上一点，DE∥AC交AB于点E ， B ， B′关于直线DE成轴对称，连接B′E ， B′D分别交AC于点F ， G ．

（1）求证：四边形AEDG是平行四边形；

（2）当四边形AEDG是菱形时，求这个菱形的面积与△ABC的面积之比；

（3）当AB＝6，DE＝2AE时，直接写出四边形AEDG的两条对角线长AD＝，EG＝.

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24. 在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上一动点，以 $\text{[math]}$ 为边向右侧作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

（1）如图1，当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上时，填空：
① $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是，

② $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系是；

（2）如图2，当点 $\text{[math]}$ 在菱形 $\text{[math]}$ 外部时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.

（3）如图3，在点 $\text{[math]}$ 的移动过程中，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出四边形 $\text{[math]}$ 的面积值.

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25. 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为坐标原点，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）求直线 $\text{[math]}$ 的函数解析式；

（3）点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒1个单位的速度沿线段 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为何值时 $\text{[math]}$ 是腰长为5的等腰三角形？

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