- 二一组卷

题型：阅读理解题类：常考题难易度：困难

山东省滨州市滨城区2020-2021学年八年级下学期数学期末试卷

李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、一次函数、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题．

“将军饮马”问题的探究与拓展

八年级三班李明

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从 $\text{[math]}$ 地出发到河边 $\text{[math]}$ 饮马，然后再到 $\text{[math]}$ 地军营视察，怎样走路径最短？

（数学模型）如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 同旁的两个定点．在直线 $\text{[math]}$ 上确定一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的值最小．

（问题解决）作点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 即为所求．此时， $\text{[math]}$ 的值最小，且 $\text{[math]}$ ．

（1）、（模型应用）

问题1．如图2，经测量得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点到河边 $\text{[math]}$ 的距离分别为 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，且 $\text{[math]}$ 米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长．

（2）、问题2．如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

（3）、问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ．

请在 $\text{[math]}$ 轴上确定一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的值最小，并求出 $\text{[math]}$ 的坐标；

（4）、请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值．

（5）、（模型迁移）

问题4．如图5，菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，求 $\text{[math]}$ 的最小值．