2022年北师大数学七下期中复习阶梯训练：相交线与平行线（优生集训）

修改时间：2022-04-13 浏览次数：123 类型：复习试卷编辑

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一、综合题

1. 对于复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零，这是一种常见的数学解题思想．

（1）如图1．直线l₁、l₂被直线l₃所截，在这个基本图形中，形成了对同旁内角．

（2）如图2．平面内三条直线l₁ ， l₂ ， l₃两两相交，交点分别为A，B，C，图中一共有对同旁内角．

（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成对同旁内角

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2. 如图，直线CD∥EF ，点A ， EF上（自左向右分别为点C ， A ， D和点E ， B ， F），∠ABF＝60°．射线AM自射线AB的位置开始，以每秒1°的速度绕点A沿逆时针方向旋转，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋转到BF的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为x秒．

（1）如图1，直接写出下列答案：
①∠BAD的度数是；

②当旋转时间x＝秒时，射线BN过点A；

（2）如图2，若AM∥BN ，求此时对应的旋转时间x的值．

（3）若两条射线AM和BN所在直线交于点P ．
①如图3，若点P在CD与EF之间，且∠APB＝126°，求旋转时间x的值；

②若旋转时间x＜24，求∠APB的度数（直接写出用含x的代数式表示的结果）.

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3. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线与 $\text{[math]}$ 的平分线交于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的大小，说明你的理由；

（2）如图2，若 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的外角平分线 $\text{[math]}$ 互相平行，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系；

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4.

（1）同题情境：如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完：

如图2，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ．

…………

请你帮助小明完成剩余的解答．

（2）问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题：
如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上运动， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点之间时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间有何数量关系？请说明理由．

②当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点外侧时（点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 不重合），请直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

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5.

（1）问题情境：如图1，AB//CD ， ∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB ，通过平行线性质，可得∠APC＝．

（2）问题迁移：如图3，AD//BC ，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α ， ∠BCP＝∠β ．

当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．

（3）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．

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6. 如图1，点E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED.

（1）探究猜想：
①若∠EAB＝22°，∠EDC＝61°，则∠AED的度数为 ▲ ；

②若∠EAB＝32°，∠EDC＝45°，则∠AED的度数为 ▲ ；

③猜想图a中∠AED、∠EAB、∠EDC之间的关系并说明理由．

（2）拓展应用：如图2，线段EF与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②分别是被线段EF隔开的两个区域(不含边界），点P是位于以上两个区域内的点，连接PE，PF，猜想∠PEB、∠PFC、∠EPF之间的关系(不要求写出过程)．

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7. 25．如图，已知AB∥CD，CN是∠BCE的平分线．

（1）若CM平分∠BCD，求∠MCN的度数；

（2）若CM在∠BCD的内部，且CM⊥CN于C，求证：CM平分∠BCD；

（3）在(2)的条件下，连结BM，BN，且BM⊥BN，∠MBN绕着B点旋转，∠BMC＋∠BNC是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．

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8. 已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C ，且 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E、F均落在直线MN上．

（1）如图1，当点C与点E重合时，求证： $\text{[math]}$ ；聪明的小丽过点C作 $\text{[math]}$ ，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程．

（2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证： $\text{[math]}$ ；

（3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点 $\text{[math]}$ ，画出平移后的三角形DEF ，并回答问题，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

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9. 阅读第（1）题解答过程填理由，并解答第（2）题

（1）已知：如图1，AB∥CD，P为AB，CD之间一点，求∠B+∠C+∠BPC的大小．
解：过点P作PM∥AB

∵AB∥CD（已知）

∴PM∥CD，

∴∠B+∠1＝180°，．

∴∠C+∠2＝180°

∵∠BPC＝∠1+∠2

∴∠B+∠C+∠BPC＝360°

（2）我们生活中经常接触小刀，如图2小刀刀柄外形是一个直角梯形挖去一个小半圈，其中AF∥EG，∠AEG＝90°，刀片上、下是平行的（AB∥CD），转动刀片时会形成∠1和∠2，那么∠1+∠2的大小是否会随刀片的转动面改变，如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．

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10. 已知：如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）判断图中平行的直线，并给予证明；

（2）如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明．

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11. 在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上一个动点（不与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

（1）如图，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时，求证： $\text{[math]}$ ．

（2）若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上．用等式表示 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是．

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12. 已知：直线 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，A为直线 $\text{[math]}$ 上的一个定点，过点A的直线交 $\text{[math]}$ 于点B ，点C在线段BA的延长线上．D ， E为直线 $\text{[math]}$ 上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD ， AE ，满足∠AED＝∠DAE ．点M在 $\text{[math]}$ 上，且在点B的左侧．

（1）如图1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接写出∠ABM的度数；

（2）射线AF为∠CAD的角平分线．
① 如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；

② 当点D与点B不重合，且∠ABM＋∠EAF＝150°时，直接写出∠EAF的度数．

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13. 综合与探究
【问题情境】

王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．

（1）如图1，EF∥MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系；

（2）【问题迁移】
如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动．

①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由；

②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．

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14. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上一动点（与点 $\text{[math]}$ 不重合）， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的度数.

（2）求 $\text{[math]}$ 的度数.

（3）当点 $\text{[math]}$ 运动时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是否随之发生变化？若变化，请写出变化规律；若不变化，请写出它们之间的数量关系，并说明理由.

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15. 【问题发现】如图①，直线AB∥CD，E是AB与CD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．

（1）请把下面的证明过程补充完整：

证明：过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD（已知），EF∥AB（辅助线的作法），

∴EF∥CD（　                         　），

∴∠C＝∠CEF（　   　                   ），

∵EF∥AB（作图），

∴∠B＝   ▲   ，（　                          　），

∴∠B+∠C＝_   ▲   （等量代换），即∠B+∠C＝∠BEC．

（2）【拓展探究】如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：∠B，∠C，∠BEC之间的关系是

（3）【解决问题】如图③，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，请求出∠A的度数．

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16. 一个小区的路面规划示意图如图所示，已知AD⊥EF，CE⊥EF，∠2+∠3=180°

（1）判断∠1与∠BDC的数量关系，并说明理由；

（2）若∠1=70°，DA平分∠BDC，试求∠FAB的度数

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17. 先阅读材料，再解决问题．
在同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

如图1，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠B=∠BOD．

又因为∠BOD是△POD的外角，则有∠BOD=∠BPD+∠D，

所以∠BPD=∠B-∠D

（1）将点P移到AB，CD内部，其余条件不变，如图2，以上结论是否仍成立？若成立，说明理由；若不成立，请写出∠BPD，∠B，∠D之间的数量关系，并证明你的结论

（2）在图2中，将直线AB绕点B沿逆时针方向旋转一定角度后交直线CD于点Q，如图3，请借助(1)中的图形与结论，找出图3中∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间的数量关系，并说明理由

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18. 在综合与实践课上，老师让同学们以“三条平行线m，n，l（即始终满足m∥n∥l）和一副直角三角尺ABC，DEF（∠BAC＝∠EDF＝90°，∠FED＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠ACB＝45°）”为主题开展数学活动．
操作发现

（1）如图1，展翅组把三角尺ABC的边BC放在l上，三角尺DEF的顶点F与顶点B重合，边EF经过AB，顶点E恰好落在m上，顶点D恰好落在n上，边ED与n相交所成的一个角记为∠1，求∠1的度数；

（2）如图2，受到展翅组的启发，高远组把直线m向下平移后使得两个三角尺的两个直角顶点A、D分别落在m和l上，顶点C恰好落在n上，边AC与l相交所成的一个角记为∠2，边DF与m相交所成的一个角记为∠3，请你说明∠2﹣∠3＝15°；
结论应用

（3）老师在点评高远组的探究操作时提出，在（2）的条件下，若点N是直线n上一点，CN恰好平分∠ACB时，∠2与∠3之间存在一个特殊的倍数关系，请你直接写出它们之间的倍数关系，不需要说明理由．

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19. 综合与实践
阅读下面内容，并解答问题
已知：如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．
老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？

（1）小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是．

（2）接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，然后在平行线间画了一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 后，用鼠标拖动点 $\text{[math]}$ ，分别得到了图①②③，小颖发现图②正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图①和③中的 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．
请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
①猜想图①中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系并加以证明；
②利用图③探究，在拖动点 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ 的上方或 $\text{[math]}$ 的下方时， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间还存在其它数量关系，请直接写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系： ▲ （写出一种即可）．

（3）学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图2所示， $\text{[math]}$ 垂直地面 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平行于地面 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 度数为．

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20. 已知，直线 $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 间的一点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

（1）如图（1），若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ °．

（2）如图（2），若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

（3）如图（3），若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间有何等量关系，并说明理由．

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21. 如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．

（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明原因；

（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；

（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求 $\text{[math]}$ 的值．

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22. 已知直线MN∥PQ，点A在直线MN上，点B、C为平面内两点，AC⊥BC于点C．

（1）如图1，当点B在直线MN上，点C在直线MN上方时，延长CB交直线PQ于点D，则∠CAB和∠CDP之间的数量关系是．

（2）如图2，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线MN与PQ之间时，过点B作BD⊥AB交直线PQ于点D．为探究∠ABC与∠BDP之间的数量关系，小明过点B作BF∥MN．请根据他的思路，写出∠ABC与∠BDP的关系，并说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当∠AEB＝2∠ABC时，直接写出∠ABC的度数．

（4）如图4，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线PQ下方时，过点B作BD⊥AB交直线PQ于点D．作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当∠BDP＝2∠BEN时，请补充图形并直接写出∠ABC的度数．

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23. 综合与探究：
将三角形纸板如图放置，点P是边AB边上一点，DF∥CE，∠PCE＝∠α，∠PDF＝∠β，

（1）探究：如果α＝30°，β＝40°，则∠DPC＝．

（2）猜想：当点P在E、F两点之间运动时，∠DPC与α、β之间有何数量关系？并说明理由；

（3）拓展：如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），上述（2）中的结论是否还成立？并说明理由．

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24. 已知：如图（1）直线AB、CD被直线MN所截，∠1＝∠2．

（1）求证：AB∥CD；

（2）如图（2），点E在AB，CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；

（3）如图（3），在（2）的条件下，过P点作PH∥EQ交CD于点H，连接PQ，若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：5，求∠PHQ的度数．

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25. 如图，已知AB∥CD，∠ACD的平分线与AB交于点E．

（1）求证：∠ACE＝∠AEC；

（2）若点F为射线CE上一点．
①连接FA，探究∠FCD、∠FAB和∠AFC之间的数量关系，并证明你的结论；

②点G为线段CE上一点且∠CAG＝3∠EAG，当∠GAF+∠AEC＝90°时，求 $\text{[math]}$ 的值．

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