浙教版数学九上第3章圆的基本性质优生综合题特训

修改时间：2021-11-16 浏览次数：142 类型：复习试卷编辑

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一、综合题

1. 如图，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为D，点E为 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ 并延长至F，使 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为底边作等腰 $\text{[math]}$ .

（1）如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

（2）如图2，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，过D作 $\text{[math]}$ ，垂足为H，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N，求证： $\text{[math]}$ ；

（3）如图3，点K为平面内不与点D重合的任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点D顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点P， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ 并在 $\text{[math]}$ 的右侧作 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，Q为 $\text{[math]}$ 边上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取到最小值时，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点S，请直接写出 $\text{[math]}$ 的面积.

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2. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交抛物线于点 $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式.

（2）连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标.

（3） ①在 $\text{[math]}$ 轴上存在一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 运动到什么位置时，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是矩形？求出此时点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标.
②在①的前提下，以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作圆，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

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3. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转至 $\text{[math]}$ ，记旋转角为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为斜边在其一侧制作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 的数量关系；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，
①如图2，（1）中线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；

②如图3，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线时，连接 $\text{[math]}$ ，判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．

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4. 数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为 $\text{[math]}$ 的正方形 $\text{[math]}$ 与边长为 $\text{[math]}$ 的正方形 $\text{[math]}$ 按图1位置放置， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在同一条直线上， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在同一条直线上．

（1）小明发现 $\text{[math]}$ ，请你帮他说明理由．

（2）如图2，小明将正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转，当点 $\text{[math]}$ 恰好落在线段 $\text{[math]}$ 上时，请你帮他求出此时 $\text{[math]}$ 的长．

（3）填空：
①在旋转过程中，如图3，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积最大值为．

②如图4，分别取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的形状为．

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5. 数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知 $\text{[math]}$ 中，AB=AC=m，BC=n， $\text{[math]}$ ，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

（1）问题发现：
小明研究了 $\text{[math]}$ 时，如图1，求出了 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

小红研究了 $\text{[math]}$ 时，如图2，求出了 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2）类比探究：
他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了 $\text{[math]}$ ；

归纳总结：

最后他们终于共同探究得出规律：

$\text{[math]}$ （用含m、n的式子表示）； $\text{[math]}$ （用含α的式子表示）．

（3）求出 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的度数．

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6. 如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形边CB、CD上，连接AF ，取AF中点M ， EF的中点N ，连接MD、MN ．

（1）连接AE ，则△AEF是三角形，MD、MN的数量关系是．

（2）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则MD、MN的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图1中正方形ABCD及直角三角板ECF同时绕点C顺时针旋转90°，如图3，其他条件不变，则MD、MN的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

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7. 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的外接圆， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，点D为 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）连接 $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

（2）设 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于E，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求阴影部分面积.

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8. 如图

（1）如图1，在半径为1的 $\text{[math]}$ 中，弦 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

（2）如图2，在半径为2的 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是弧 $\text{[math]}$ 上任意一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .
①若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 的度数.

②若点 $\text{[math]}$ 不是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变化，请求出 $\text{[math]}$ 的度数.

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9. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，AC为 $\text{[math]}$ 的直径， AB为 $\text{[math]}$ 的弦，点 E 是 $\text{[math]}$ 的中点，过点 E 作 AB 的垂线，交 AB 于点 M ，交 $\text{[math]}$ 于点 N ，分别连接 EB ， CN .

（1） $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是；

（2）求证： $\text{[math]}$ ；

（3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求阴影部分图形的面积.

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10. 如图，在⊙ $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是直径， $\text{[math]}$ ，垂足为P，过点 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 的切线与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 为⊙ $\text{[math]}$ 的切线；

（2）若⊙ $\text{[math]}$ 半径为3， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .

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11. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切；

（2） $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求劣弧 $\text{[math]}$ 的长.

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12. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点P是⊙O上一点，且PA＝PC，PD∥AC，与BA的延长线交于点D.

（1）求证：PD是⊙O的切线.

（2）若tan∠PBA＝ $\text{[math]}$ ，AC＝12，求直径AB的长.

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13. 已知，⊙O过矩形ABCD的顶点D，且与AB相切于点E，⊙O分别交BC，CD于H，F，G三点.

（1）如图1，求证：BE－AE＝CG；

（2）如图2，连接DF，DE.若AE＝3，AD＝9，tan∠EDF＝ $\text{[math]}$ ，求FC的值.

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14. 如图， $\text{[math]}$ 为半圆 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 为切线， $\text{[math]}$ 交半圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，BE的延长线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ .

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

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15. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一动点，且不与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点重合，连结 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的外接圆交边 $\text{[math]}$ 于另一点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ .

（2）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时.
①若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

②当线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中有两条相等时，求出所有符合条件的 $\text{[math]}$ 的值.

（3）若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. 如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D.

（1）求证：AD⊥BC；

（2）点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D.
①求证：AG与⊙O相切；

②当 $\text{[math]}$ ，CE＝4时，直接写出CG的长.

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17. 如图，⊙O 的半径为 1，弦AB= $\text{[math]}$ ，弦AC ， BD 交于点E ，且EA=EB ， F是 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求证：△CDE 是等腰三角形．

（2）若∠B=50°，求∠F 的度数．

（3）若CF∥BD ，求证：CD=CF ，

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18. 在平面直角坐标系中，抛物线C₁： $\text{[math]}$ （m为常数）的顶点为M，与y轴交于点N.

（1）若点P（ $\text{[math]}$ ，a）在抛物线C₁上，求a的值；

（2）当点M到x轴的距离是 $\text{[math]}$ 时，求m的值；

（3）在（2）的条件下，且m取有理数时，将抛物线C₁绕点M旋转180°得到抛物线C₂ ，设C₂与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），问在抛物线C₂的对称轴上是否存在点Q，使∠AQB=∠ANB？若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

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19. 定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”.如图1，在△ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则△ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是“青竹三角形”.

（1）以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形.

（2）如图2，△ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 上任意一点（不与点A、B重合），设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，请写出图中的一对“青竹三角形”，并用含a、b的式子来表示 $\text{[math]}$ ；

（3）如图3，⊙O的半径为4，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且△ABC和△ADC是“青竹三角形”.
①求 $\text{[math]}$ 的值；

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求△ABC和△ADC的周长之差.

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20. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是⊙ $\text{[math]}$ 的内接矩形，过点 $\text{[math]}$ 的切线与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积（用 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

（3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

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21. 如图1，四边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为直径，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；

②当AB=2时，求AD ， AC与 $\text{[math]}$ 围成阴影部分的面积．

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22. 小明对教材“课题学习”中的“用一张正方形折出一个正八边形”的问题进行了认真的探索。他先把正方形ABCD沿对角线AC对折，再把∠BAC对折，使点B落在AC上，记为点E，然后沿CE的中垂线折叠，得到折痕PQ，如图1，类似地，折出其余三条折痕GH，IJ，KO，得到八边形GHIJKOPQ，如图2。

（1）求证：△CPQ是等腰直角三角形。

（2）若AB=a，求PQ的长。（用含a的代数式表示）

（3）我们把八条边长相等，八个内角都相等的八边形叫做正八边形.试说明八边形GHIJKOPQ是正八边形，请把过程补充完整。
解：理由如下：

①

∴∠GQP=135°

同理可得：∠QPO=∠POK=∠OKJ=∠KJI=∠JIH=∠IHG=∠HGQ=135°。

②

∴PQ=QG。

同理可得：QG=GH=HI=IJ=JK=KO=PO=PQ

∴八边形GHIJKOPQ是正八边形。

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23. 如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC中点，AE⊥DE于点E.点O是线段AE上的点，以点O为圆心，OE为半径的⊙O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG.

（1）求证：△ECD∽△ABE；

（2）求证：⊙O与AD相切；

（3）若BC＝6，AB＝3 $\text{[math]}$ ，求⊙O的半径和阴影部分的面积.

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24. 如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE=8，点G、H分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH=60°，设CG=x ， EH=y ．

（1）如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；

（2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，
并写出x的取值范围；

（3）联结AH、EG ，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．

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一、综合题

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