解：①

B E = \sqrt{2} A F

仍然成立，理由如下：

如图2，

$∵$ $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，

$∴ ∠ A B C = ∠ A C B = 45 °$ ，

$∵$ $△$ $C E F$ 是以 $E C$ 为斜边等腰直角三角形，

$∴ ∠ F C E = 45 °$ ， $∠ E F C = 90 °$ ，

$∴ ∠ F C E = ∠ A C B$ ，

$∴ \cos ∠ F C E = \cos ∠ A C B$ ，

即 $\frac{F C}{E C} = \frac{A C}{B C} = \cos 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

$∵$ $∠ F C E = ∠ A C B$ ，

$∴ ∠ 1 + ∠ A C E = ∠ 2 + ∠ A C E$ ，

$∴ ∠ 1 = ∠ 2$ ，

$∴ △ F C A ∽ △ E C B$ ，

$∴ \frac{A F}{B E} = \frac{A C}{B C} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

即 $B E = \sqrt{2} A F$ ；

②四边形 $A E C F$ 是平行四边形，理由如下：

如图3，过 $A$ 作 $A M ⊥ B C$ ，连接 $M F$ ， $A C ， E F$ 交于点 $N$ ，

$∵$ $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，

$∴ B M = M C = \frac{1}{2} B C$ ，

$∵ D B = D E$ ，

$∴ ∠ E B D = ∠ D E B$ ，

$∴ ∠ E D C = 2 ∠ E B D$ ，

$∵$ $△$ $C E F$ 是以 $E C$ 为斜边等腰直角三角形，

$∴ ∠ E F C = 90 °$ ，

$∵$ $B$ ， $E$ ， $F$ 三点共线，

$∵ B M = M C$ ，

$∴ M F = \frac{1}{2} B C = B M$ ，

$∴ ∠ F B C = ∠ B F M$ ，

$∴ ∠ F M C = 2 ∠ F B C$ ，

$∴ ∠ F M C = ∠ E D C$ ，

$∴ E D // F M$ ，

$∴ \frac{B E}{E F} = \frac{B D}{D M}$ ，

$∵$ $B D = \frac{1}{3} B C$ ，

$∴ D M = B M - B D = \frac{1}{2} B C - \frac{1}{3} B C = \frac{1}{6}$ ，

$∴ \frac{B D}{D M} = \frac{2}{1}$ ，

$∴ \frac{B E}{E F} = \frac{B D}{D M} = \frac{2}{1}$ ，

$∴ B E = 2 E F$ ，

由①可知 $B E = \sqrt{2} A F$ ，

$∴ A F = \sqrt{2} E F$ ，

$∵$ $△$ $C E F$ 是以 $E C$ 为斜边等腰直角三角形，

$∴ E F = F C$ ， $E C = \sqrt{2} E F$ ，

$∴ A F = E C$ ，

$∵$ $△ F C A ∽ △ E C B$ ，

$∴ ∠ E B C = ∠ F A C$ ，

$∵ ∠ B N C = ∠ A N F$ ，

$∴ ∠ A F N = 180 ° - ∠ F A C - ∠ A N F ， ∠ N C B = 180 ° - ∠ F B C - ∠ B N C$ ，

$∴ ∠ A F N = ∠ N C B$ ，

即 $∠ A F E = ∠ A C B = 45 °$ ，

$∵$ $∠ F E C = 45 °$ ，

$∴ ∠ A F E = ∠ F E C$ ，

$∴ A F // E C$ ，

$∴$ 四边形 $A E C F$ 是平行四边形．

浙教版数学九上第3章 圆的基本性质优生综合题特训

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