专题32 数列的概念与简单表示法-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

1. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为递减数列，且存在常数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立 B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为递增数列，且存在常数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立 C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为递减数列，且存在常数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立 D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为递增数列，且存在常数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立

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2. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的公差为 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . －1 B . $\text{[math]}$ C . 0 D . $\text{[math]}$

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3. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…，依此类推，其中 $\text{[math]}$ ．则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知数列 $\text{[math]}$ 是公比大于0的等比数列．其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ；

（2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
（ⅰ）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；
（ⅱ）求 $\text{[math]}$ ．

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6. 若数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 10 B . 11 C . 12 D . 13

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7. 若数列 $\text{[math]}$ 满足：对于任意正整数n ， $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 互为交错数列．记正项数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，已知1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列，则与数列 $\text{[math]}$ 互为交错数列的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的前100项和为100 D . $\text{[math]}$ 的前30项和为357

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9. 已知数列 $\text{[math]}$ ，下列结论正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 是等比数列 D . 若 $\text{[math]}$ 为等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，则数列 $\text{[math]}$ 为等差数列

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10. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则满足 $\text{[math]}$ 的实数 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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11. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的前100项和 $\text{[math]}$ ．

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12. 如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共 $\text{[math]}$ 个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2290 B . 2540 C . 2650 D . 2870

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13. 已知数列 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 均有 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 530 B . 531 C . 578 D . 579

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14. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，设图②中第n行白心圈的个数为 $\text{[math]}$ ，黑心圈的个数为 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 数列 $\text{[math]}$ 为等比数列 D . 图②中第2023行的黑心圈的个数是 $\text{[math]}$

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15. 函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上不恒为零的可导函数，对任意的x ， $\text{[math]}$ 均满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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16. 在数列 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的前2024项和 $\text{[math]}$ ．

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17. 已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

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18. 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，若对 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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19. 正整数 $\text{[math]}$ 的倒数的和 $\text{[math]}$ 已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当 $\text{[math]}$ 很大时， $\text{[math]}$ .其中 $\text{[math]}$ 称为欧拉-马歇罗尼常数， $\text{[math]}$ ，至今为止都不确定 $\text{[math]}$ 是有理数还是无理数.设 $\text{[math]}$ 表示不超过 $\text{[math]}$ 的最大整数，用上式计算 $\text{[math]}$ 的值为（）
（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A . 10 B . 9 C . 8 D . 7

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20. 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 数列 $\text{[math]}$ 中的最大项为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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21. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的有（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时，数列 $\text{[math]}$ 是递增数列 C . 当 $\text{[math]}$ 时，若数列 $\text{[math]}$ 是递增数列，则 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

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22. 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 是公差为1的等差数列，则 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的最小值为.

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23. 定义：对于函数 $\text{[math]}$ 和数列 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 具有“ $\text{[math]}$ 函数性质”.已知二次函数 $\text{[math]}$ 图象的最低点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若数列 $\text{[math]}$ 具有“ $\text{[math]}$ 函数性质”，且首项为1的数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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24. 已知首项为2的数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 40 B . 41 C . 42 D . 43

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25. 已知 $\text{[math]}$ 为等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 中（）

A . 有最大项，无最小项 B . 有最小项，无最大项 C . 有最大项，有最小项 D . 无最大项，无最小项

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26. 设数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，若数列 $\text{[math]}$ 是单调递增数列，则实数b的取值范围为（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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27. 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 43 B . 46 C . 37 D . 36

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28. 设 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 数列 $\text{[math]}$ 是公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列 C . 数列 $\text{[math]}$ 的前5项和最大 D . $\text{[math]}$

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29. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有 $\text{[math]}$ 个球，第二层有 $\text{[math]}$ 个球，第三层有 $\text{[math]}$ 个球，…，设各层球数构成一个数列 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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30. 已知数列 $\text{[math]}$ 对任意的整数 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则下列说法中正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 数列 $\text{[math]}$ 可以是等差数列 D . 数列 $\text{[math]}$ 可以是等比数列

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31. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 前8项和为761，则 $\text{[math]}$ ．

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32. 在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列 $\text{[math]}$ 是等和数列，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则这个数列的前2022项的和为．

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33. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何？“其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为总量的 $\text{[math]}$ ，第2关收税金为剩余的 $\text{[math]}$ ，第3关收税金为剩余的 $\text{[math]}$ ，第4关收税金为剩余的 $\text{[math]}$ ，第5关收税金为剩余的 $\text{[math]}$ ， 5关所收税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？假设原本持金 $\text{[math]}$ 斤，则 $\text{[math]}$ 斤．

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34. 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，它的最大项和最小项的值分别是等比数列 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 中的 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值.

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）已知数列，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ .

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35. 已知正项数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）设 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，且 $\text{[math]}$ ．求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式．

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36. 据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾” $\text{[math]}$ 、“股” $\text{[math]}$ 与“弦” $\text{[math]}$ 之间的关系为 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）．当 $\text{[math]}$ 时，有如下勾股弦数组序列： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（）

A . 145 B . 181 C . 221 D . 265

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37. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 是递增数列 B . $\text{[math]}$ 是等比数列 C . 当n是偶数时， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$

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38. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则满足 $\text{[math]}$ 的实数 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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39. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …．

（1）写出一个递推公式，表示 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系；

（2）求 $\text{[math]}$ 的值．（其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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40. 已知 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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41. 给定数列 $\text{[math]}$ ，定义差分运算： $\text{[math]}$ .若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的首项为1，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立 B . 存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立 C . 对任意 $\text{[math]}$ ，总存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ D . 对任意 $\text{[math]}$ ，总存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$

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42. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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专题32 数列的概念与简单表示法-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

一、单选题

二、解答题

三、单选题

四、多选题

五、填空题

六、单选题

七、多选题

八、填空题

九、单选题

十、多选题

十一、填空题

十二、单选题

十三、多选题

十四、填空题

十五、解答题

十六、单选题

十七、多选题

十八、填空题

十九、解答题

二十一、单选题

二十二、多选题

二十三、填空题

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