浙教版初中数学八下第五章特殊平行四边形优生加练

修改时间：2022-03-22 浏览次数：95 类型：复习试卷编辑

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一、综合题

1. （一）问题情境：如图1，已知点E，F分别在正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，点M为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是，位置关系是.

（2）（二）猜想证明：
如图2，将线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转，旋转角均为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）.点M为线段 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立.若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

（3）（三）探索发现：
将图1中的线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转，旋转角为 $\text{[math]}$ ，点M为线段 $\text{[math]}$ 的中点，得到如图3所示的图形，请你判断线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是否发生变化，请说明理由.

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2. 如图，已知四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一点（不与点A，D重合），连接CE，以CE为一边作正方形CEFG，使点F，G与点A，B在CE的两侧，连接BE并延长，交GD延长线于点H．
　

（1）如图1，请判断线段BE与GD的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）如图2，连接BG，若AB＝2，CE＝ $\text{[math]}$ ，请你直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

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3. 如图， $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 的对角线， $\text{[math]}$ .边 $\text{[math]}$ 在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，并过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

（1）请直接写出线段 $\text{[math]}$ 在平移过程中，四边形 $\text{[math]}$ 是什么四边形；

（2）请判断 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

（3）在平移变换过程中，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式.

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4. 如图1所示将一块等腰三角板BMN放置与正方形ABCD的∠B重合，连接AN、CM，E是AN的中点，连接BE.

（1）（观察猜想）
CM与BE的位置关系是；CM与BE的数量关系是；

（2）（探究证明）
如图2所示，把三角板BMN绕点B逆时针旋转a（0<a<90），其他条件不变，线段CM与BE的关系是否仍然成立，并说明理由：

（3）（拓展延伸）
若旋转角a=45°，且∠NBE=2∠ABE，求 $\text{[math]}$ 的值.

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5. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE//AC且DE=OC，连结CE.

（1）求证：四边形OCED是矩形.

（2）连结AE交OD于点F，若菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，求AE的长.

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6. 如图，已知矩形ABCD，连接AC，EF垂直平分AC于点O，分别交AD、BC于点E、点F，连接FC.

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若△CEF与△CED的面积比为3∶1，且AB=4，求四边形AECF的面积.

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7. （问题发现）数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：

图1 图2 图3

（1）若四边形 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上一动点，以 $\text{[math]}$ 为边向右侧作等边 $\text{[math]}$ ，如图1，当点E在菱形 $\text{[math]}$ 内部或边上时，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；

（2）（类比探究）数学小组对该问题进行进一步探究：
若四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，点P是射线 $\text{[math]}$ 上一动点，以 $\text{[math]}$ 为直角边在 $\text{[math]}$ 边的右侧作等腰 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

①如图2，当点 $\text{[math]}$ 在对角线 $\text{[math]}$ 上时，小组发现点 $\text{[math]}$ 恰好在射线 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系（过程只用说明点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上的情况即可）；

②如图3，当P是对角线 $\text{[math]}$ 的延长线上一动点时，小组发现点 $\text{[math]}$ 恰好在射线 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

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8. 【概念学习】若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条公共底边互为顶针点，这条公共底边叫做这两个互为顶针点的顶针线段，如图（1），四边形ABCD ，BC是一条对角线，AB=AC，DB=DC，则点A与点D关于顶针线段BC互为顶针点.

（1）【实践操作】如图（2），在长方形ABCD中，AB<AD.若在AD边上存在点F，边AB 上存在点E，使得点E与点C关于顶针线段BF互为顶针点，请用直尺和圆规在图2中作出满足条件的点F、E.(要求不写作法，保留作图痕迹.

（2）【思维探究】在上述的条件下，若AB=8，AD=10.请利用备用图求AE的长度.

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9. 如图，O为原点，长方形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积都为12，且能够完全重合，边 $\text{[math]}$ 在数轴上， $\text{[math]}$ ．长方形 $\text{[math]}$ 可以沿数轴水平移动，移动后的长方形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积记为S．

（1）如图1，求出数轴上点F表示的数．

（2）当S恰好等于长方形 $\text{[math]}$ 面积的一半时，求出数轴上点 $\text{[math]}$ 表示的数．

（3）在移动过程中，设P为线段 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 所表示的数能否互为相反数？若能，求点O移动的距离；若不能，请说明理由．

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10. 如图，在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿着 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位的速度向终点 $\text{[math]}$ 运动，点 $\text{[math]}$ 运动的时间为 $\text{[math]}$ 秒．

（1） $\text{[math]}$ 的长为；

（2）连接 $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ ；

（3）连接 $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 是直角三角形；

（4）直接写出当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 是等腰三角形．

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11. 如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：

（1） PC＝cm.（用t的代数式表示）

（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？

（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由.

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12. 如图，在矩形ABCD中，AB=6 ， BC=8 ，将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转，得到矩形EFGD ，直线DE ， FG分别与直线BC交于点P ， Q.

（1）如图1，当矩形EFGD的顶点F落在线段BC的延长线上时，求DP的长．

（2）如图2，在矩形旋转过程中，当P位于线段BC上时，求证：DP=PQ.

（3）在旋转过程中，旋转角 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求CP的长（直接写出答案）.

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13. 如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，DE⊥BD，连结AC，CE.

（1）已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x.用含x的代数式表示AC+CE的长；

（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？并求出它的最小值；

（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 $\text{[math]}$ 的最小值.

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14. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝kx+b（b≠0）分别与y轴，x轴交于A，B两点，点E，点G分别为AB，OE中点，点A，B关于点G的对称点分别为C，D，则称四边形ABCD为直线AB的伴随四边形，直线CD为直线AB的伴随直线.

（1）若伴随四边形为矩形，则k＝；

（2）已知伴随直线为y＝﹣4x，四边形ABCD的面积为25，求直线AB的解析式；

（3）如图2，连结CG，与x轴交于点H，若△BHC为等腰三角形且k＞0，求k的值.

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15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D，E是斜边AB上的两个动点（不与点A，B重合），过E作EF⊥BC于点F，设BD＝m，EF＝n，且m＝12﹣4n，连结DF.

（1）当m＝8时，
①求DE长；

②求△BDF的面积.

（2）是否存在点P，使得以D，E，F，P四点为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由；

（3）当点B关于直线DF的对称点B'落在直线EF上时，请直接写出n的值.

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16. 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E.

（1）若CE＝4，AE＝2BE，求菱形ABCD的周长；

（2）连结BD交CE于点F；
①若DF＝BF＋2EF，求证：AE＝BE.

②设四边形AEFD和△CDF的面积分别是S₁和S₂ ，若AE＝4，S₁﹣S₂＝2 $\text{[math]}$ ，求线段BF的长.

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17. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，线段AE与AB重合，以AE为边向右侧作正三角形AEF，△AEF绕点A按逆时针方向旋转，旋转角∠BAE=α(0°<α<60°)，射线BE，DF交于点G，连结CE，CG，CF。

（1）求证：BE=CF；

（2）求∠BGD的度数；

（3）当△ECG为等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的值。

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18. 如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD四边上的点，且AH＝AE＝CF＝CG，连结EF、FG、GH、HE.

（1）求证：四边形EFGH是矩形；

（2）若∠D＝120°，S_矩形EFGH＝ $\text{[math]}$ S_菱形ABCD ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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19. 如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，FH⊥AC于点E，交AD，AB于点F，H.

（1）求证：CF＝CH；

（2）若AH＝ $\text{[math]}$ CH，AB＝4，求AH的长.

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20. 如图1，四边形ABCO为正方形，若点A坐标为（0，5）

（1）如图1，直接写出点B的坐标

（2）如图1，点D为线段OA上一点，连接BD，若点A到BD的距离为1，求点C到BD的距离.

（3）如图2，若D为x轴上一点，且OD=2，M为y轴正半轴上一点，且∠DBM=45°，直接写出点M的坐标

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21. 如图

（1）如图1，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交AD于点F.求证：①△ADE≌△ADC；②四边形CDEF是菱形；

（2）如图2，△ABC中，AB＞AC，AD平分△ABC的外角∠EAC交BC的延长线于点D，在AB的反向延长线上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交AD的反向延长线于点F.四边形CDEF还是菱形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，直接写出此时△ABC中∠BAC与∠B的关系；如果不能，请直接回答问题，不必说明理由.

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22. 如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点(不与点B，C重合)，点B关于直线AP的对称点为E，连接AE.连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF，CF.

（1）若∠BAP＝α，直接写出∠ADF的大小(用含α的式子表示).

（2）求证：BF⊥DF.

（3）求证：AF CF.

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