浙教版数学八上第2章特殊三角形优生综合题特训

修改时间：2021-11-16 浏览次数：126 类型：复习试卷编辑

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一、综合题

1. 如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．

（1）实验与探究：
由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5，3)、C(-2，5)关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；

（2）归纳与发现：
结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a，b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（不必证明）；

（3）运用与发现：
已知两点D(1，-3)、E(-1，-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小.

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2. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，点E在边 $\text{[math]}$ 上（不与端点A，D重合），点A关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为点F，连接 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的大小（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

（2）过点C作 $\text{[math]}$ ，垂足为G，连接 $\text{[math]}$ .判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并说明理由；

（3）将 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，点E的对应点为点H，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的值.

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3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B=50°，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于点E.

（1）当∠BDA＝100°时，∠BAD＝°，∠DEC＝°；

（2）当DC＝AB时，△ABD和△DCE是否全等？请说明理由；

（3）在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形的情形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数，若不存在，请说明理由.

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4. 如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为斜边上动点.

（1）如图2，过点D作 $\text{[math]}$ 交CB于点E，连接AE，当AE平分 $\text{[math]}$ 时，求CE；

（2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，直接写出AD的值.

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5. 在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.

（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）.

（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.

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6. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．

（1）若∠C=36° ，求∠BAD的度数；

（2）求证：FB=FE．

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7. 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，D，G分别是AB，BC上的点，连接GD，且GD＝GB.以点D为顶点作等边△DEF，使点E，F分别在AC，GC上.

（1）求∠DGF的大小；

（2）求证：△FDG≌△EFC；

（3）如图2，当DE//BC时，若△DEF的面积为2，请直接写出△ABC的面积.

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8. 如图1，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将Rt△ABC绕C点顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到Rt△DCE

（1）当α＝15°，则∠ACE＝°；

（2）如图2，过点C作CM⊥BF于M ，作CN⊥EF于N，证明：CF平分∠BFE

（3）求Rt△ABC绕C点顺时针旋转，当旋转角α（0°＜α＜90°）为多少度时，△CFG为等腰三角形

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9. 如图1，点P为等腰Rt△ABC斜边AB下侧一个动点，连AP、BP，且∠APB＝45°，过C作CE⊥AP于点E，AB＝12.

（1）若∠ACE＝15°，求△ABP的面积；

（2）求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）如图2，当△APC为等腰三角形时，则其面积为.

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10. 在 $\text{[math]}$ 中，若最大内角是最小内角的 $\text{[math]}$ 倍（ $\text{[math]}$ 为大于1的整数），则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 倍角三角形.例如：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为6倍角三角形.

（1）在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为倍角三角形；

（2）若一个等腰三角形是4倍角三角形，求最小内角的度数；

（3）如图，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .找出图中所有的 $\text{[math]}$ 倍角三角形，并写出它是几倍角三角形.

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11. 如图，已知 $\text{[math]}$ .

（1） $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等吗？请说明理由；

（2）若 $\text{[math]}$ ，垂足为F，请说明线段 $\text{[math]}$ ；

（3）在（2）的基础上，猜想线段 $\text{[math]}$ 存在的数量关系，并直接写出结论.

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12. 阅读与理解：
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法.例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？

分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C'处，即AC=AC'，据以上操作，易证明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D=∠C，又因为∠AC'D＞∠B，所以∠C＞∠B.

感悟与应用：

（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB，试判断AC和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC=16，AD=8，DC=BC=12，
①求证：∠B+∠D=180°；

②求AB的长.

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13. 问题探究

（1）如图①，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小为；

（2）如图②，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积；小明这样来计算，延长 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，通过证明 $\text{[math]}$ ，从而可以计算四边形 $\text{[math]}$ 的面积，请你将小明的方法完善，并计算四边形 $\text{[math]}$ 的面积；

（3）如图③，四边形 $\text{[math]}$ 是正在建设的城市花园，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，请计算出对角线 $\text{[math]}$ 的长度.

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14. 在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD.

（1）（探究发现）
如图①，若∠BAD＝ $\text{[math]}$ ，∠ABC＝∠ADC＝ $\text{[math]}$ .求证：AD＋AB＝AC；

（2）（拓展迁移）
如图②，若∠BAD＝ $\text{[math]}$ ，∠ABC＋∠ADC＝ $\text{[math]}$ .

①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；

②若AC＝10，求四边形ABCD的面积.

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15. 我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.

（1）如图1，四边形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在网格格点上，请你在 $\text{[math]}$ 的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形 $\text{[math]}$ ，要求顶点 $\text{[math]}$ 在网格格点上.

（2）如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求证：四边形 $\text{[math]}$ 为“等邻边四边形”.

（3）如图3，在（2）的条件下， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一点，当四边形 $\text{[math]}$ 是“等邻边四边形”时，求 $\text{[math]}$ 的长.

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16. 将一副直角三角尺按如图方式叠放， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）如图1，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

（2）图中含 $\text{[math]}$ 的三角尺 $\text{[math]}$ 固定不动，将含 $\text{[math]}$ 三角尺 $\text{[math]}$ 绕顶点 $\text{[math]}$ 顺时针转动.
①如图2，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的度数；

②若将含 $\text{[math]}$ 的三角尺 $\text{[math]}$ 绕顶点 $\text{[math]}$ 顺时针继续转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，直接写出符合条件的 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的度数为 °.

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17. 如图，铁路上A、B两点相距 $\text{[math]}$ ，C、D为两村庄，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于A， $\text{[math]}$ 于B，现要在 $\text{[math]}$ 上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等.

（1）求E应建在距A多远处？

（2） $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 垂直吗？试说明理由.

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18. 如图，已知△OMN为等腰直角三角形，∠MON＝90°，点B为NM延长线上一点，OC⊥OB，且OC＝OB，连接CN．

（1）如图1，求证：CN＝BM；

（2）如图2，作∠BOC的平分线交MN于点A，求证：AN²＋BM²＝AB²；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AE⊥ON于点E，过点B作BF⊥OM于点F，EA，BF的延长线交于点P，请探究：以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是何种三角形？并说明理由．

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19. 如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E ，过点E作EF⊥AB ，垂足为F ，且∠AEF＝50°，连接DE ．

（1）求∠CAD的度数；

（2）求证：DE平分∠ADC；

（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S_△_ACD＝15，求△ABE的面积．

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20. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 $\text{[math]}$ 运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒 $\text{[math]}$ .

（1）若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ 时，求此时 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若点 $\text{[math]}$ 恰好在 $\text{[math]}$ 的平分线上，求 $\text{[math]}$ 的值.

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21. 如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD ，交BC于点E ，且AB=AE ，延长AB与DE的延长线交于点F ．下列结论中：

求证：

（1） △ABE是等边三角形；

（2） △ABC≌△EAD；

（3） $\text{[math]}$ ．

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22. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为6²+8²＝4×5²＝100，所以这个三角形是常态三角形．

（1）若 $\text{[math]}$ 三边长分别是2， $\text{[math]}$ 和4，则此三角形常态三角形（填“是”或“不是”）；

（2）若 $\text{[math]}$ 是常态三角形，则此三角形的三边长之比为（请按从小到大排列）；

（3）如图， $\text{[math]}$ 中，∠ACB＝90°，BC＝6，AD=DB=DC，若 $\text{[math]}$ 是常态三角形，求 $\text{[math]}$ 的面积．

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23. 如图，Rt△ABC中，∠C= 90°，BC=4 $\text{[math]}$ cm，∠ABC=30°。点P从点B出发，沿B→A→C以每秒3cm的速度向终点C运动，同时点Q从点B出发以每秒、3cm的速度向终点C运动，其中一点到达终点即停止．设点P的运动时间为t。

（1）当t=2秒时，求△BPQ的面积；

（2） PQ能否与△ABC的一条边平行，如果能，求出此时t的值；如不能，说明理由；

（3） △BPQ的面积能否为△ABC面积的三分之一？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由。

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24. 如图(1)，已知△ABC中， ∠BAC=90⁰ ， AB=AC， AE是过A的一条直线，且B.C在A.E的异侧， BD⊥AE于D， CE⊥AE于E

（1）试说明：BD=DE+CE.

（2）若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时，其余条件不变，请直接写出BD与DE.CE的数量关系？不需说明理由

（3）如图(3)若将图（2）中的AB=AC改为∠ABD=∠ABC其余条件不变，问AD与AE的数量关系如何? 并说明理由.

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