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题型：综合题题类：常考题难易度：困难

吉林省松原市乾安县2021-2022学年八年级上学期数学期中试卷

如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．

（1）、实验与探究：
由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5，3)、C(-2，5)关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；

（2）、归纳与发现：
结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a，b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（不必证明）；

（3）、运用与发现：
已知两点D(1，-3)、E(-1，-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小.

举一反三

如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（　　）

如图，在正方形网格上有一个△DEF．

点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示.若P是 $\text{[math]}$ 轴上使得∣PA—PB∣的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP·OQ={#blank#}1{#/blank#}.

按要求画图：

某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线 $\text{[math]}$ 同旁有两个定点A、B，在直线 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 的值最小．解法：如图1，作点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的交点即为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．请利用上述模型解决下列问题：

（1）几何应用：如图2， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为{#blank#}1{#/blank#}；

（2）几何拓展：如图3， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，若在 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值最小值是{#blank#}2{#/blank#}．

如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点 $\text{[math]}$ 落在E处，连接DE，若AC=3，BE=8，则DE的长为{#blank#}1{#/blank#}。

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