《二次函数》精选压轴题—广东省（人教版）数学九（上）期末复习

修改时间：2025-01-06 浏览次数：9 类型：复习试卷编辑

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一、单选题

1. 已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过等腰直角三角形的两个顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图，已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b²＜8a
④ $\text{[math]}$ ＜a＜ $\text{[math]}$
⑤b＞c ．
其中含所有正确结论的选项是（　　）

A . ①③ B . ①③④ C . ②④⑤ D . ①③④⑤

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4. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．判断下列结论：
①抛物线与x轴负半轴必有一个交点；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，其中正确的是（）

A . ①③⑤ B . ①②⑤ C . ②③⑤ D . ①②③④⑤

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5. 二次函数 $\text{[math]}$ 图象上部分点的坐标满足下表∶
x
…
$\text{[math]}$
0
1
2
3
4
…
y
…
8
3
0
$\text{[math]}$
m
3
…
下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ ；④方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根，正确的个数有（）个．

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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6. 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都在一次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是常数， $\text{[math]}$ ）的图象上，（）

A . 若 $\text{[math]}$ 有最大值4，则 $\text{[math]}$ 的值为 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ 有最小值4，则 $\text{[math]}$ 的值为 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 有最大值 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为4 D . 若 $\text{[math]}$ 有最小值 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为4

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7. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于A、B两点 $\text{[math]}$ 点A在点B的左侧 $\text{[math]}$ ，动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x轴上的某点F ，最后运动到点 $\text{[math]}$ 若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数，且 $\text{[math]}$ ）中的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的部分对应值，如表格给出了以下结论：
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
0
1
2
3
4
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
5
0
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
0
5
$\text{[math]}$
①二次函数 $\text{[math]}$ 有最小值，最小值为 $\text{[math]}$ ；
②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
③二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴有两个交点，且它们分别在 $\text{[math]}$ 轴的两侧；
④当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而减小.则其中正确结论有（）.

A . ②④ B . ③④ C . ②③④ D . ①②③④

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9. 抛物线 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，与 $\text{[math]}$ 轴的一个交点坐标为 $\text{[math]}$ ，抛物线的对称轴是直线 $\text{[math]}$ ．下列结论中：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根；④若点 $\text{[math]}$ 在该抛物线上，则 $\text{[math]}$ ．其中正确的有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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10. 抛物线 $\text{[math]}$ （a ， b ， c是常数， $\text{[math]}$ ）经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点，且 $\text{[math]}$ ．在下列四个结论中：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③当 $\text{[math]}$ 时，若点 $\text{[math]}$ 在该抛物线上，则 $\text{[math]}$ ；④若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个相等的实数根，则 $\text{[math]}$ ；其正确结论的序号是（）．

A . ②③④ B . ①②④ C . ①②③ D . ①③④

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二、填空题

11. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的开口向上，经过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 且与y轴交于负半轴．则下列结论：① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）

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12. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，弦 $\text{[math]}$ 平分圆周角 $\text{[math]}$ ，则下列结论：
① $\text{[math]}$ ② $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形③ $\text{[math]}$ ④ $\text{[math]}$
正确的有．

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三、解答题

13. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ，抛物线还经过点 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，在抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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14. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，大孔顶点P距水面 $\text{[math]}$ （即 $\text{[math]}$ ），小孔水面宽度 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，小孔顶点Q距水面 $\text{[math]}$ （即 $\text{[math]}$ ），建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）求大孔抛物线的解析式；

（2）现有一艘船高度是 $\text{[math]}$ ，宽度是 $\text{[math]}$ ，这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？并说明理由．

（3）当水位上涨 $\text{[math]}$ 时，求小孔的水面宽度 $\text{[math]}$ ．

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15. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，并与 $\text{[math]}$ 轴交于另一点 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度从 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 运动，同时点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度从 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 运动 $\text{[math]}$ 当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动 $\text{[math]}$ 设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒，求 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 的面积最大？并求出最大值；

（3）是否存在某个时间 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 相切？若存在，求出 $\text{[math]}$ ；若不存在，请说明理由．

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16. 综合应用
如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ ．

（1）直接写出点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2）如图 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的面积；

（3）如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在抛物线上时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

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17. 综合探究：如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C ，连接AC ， BC ． M为线段OB上的一个动点，过点M作 $\text{[math]}$ 轴，交抛物线于点P ，交BC于点Q ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设M点的坐标为 $\text{[math]}$ ，请用含m的代数式表示线段PQ的长，并求出当m为何值时，PQ有最大值，最大值是多少？

（3）试探究点M在动过中，是否存在这样的点Q ，使得以A ， C ， Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）在（2）的条件下，直PM上有一动点R ，连接RO ，将线段RO绕点R逆时针旋转90度，使点O的对应点T恰好落在该抛物线上，求出点R的坐标．

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18. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交y轴于点C ，点P是线段 $\text{[math]}$ 下方抛物线上一动点，过点P作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点Q ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 。

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）求 $\text{[math]}$ 周长的最小值；

（3）假设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求S的最大值。

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19. 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C.直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于点B与点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点D是第一象限抛物线上一点，设D点横坐标为m.连接OD ，将线段OD绕O点逆时针旋转90°，得到线段OE ，过点E作 $\text{[math]}$ 轴交直线BC于F ，求线段EF的最大值；

（3）如图3，将抛物线 $\text{[math]}$ 在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，与原抛物线在x轴下方部分的图象组成新图象，若直线 $\text{[math]}$ 与新图象有且只有两个交点，请你直接写出n的取值范围.

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20. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于坐标原点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ．

（1）已知该抛物线的顶点 $\text{[math]}$ 的纵坐标与点 $\text{[math]}$ 的横坐标相同，设过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线的另一个交点为 $\text{[math]}$ ．求点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，若该抛物线与线段 $\text{[math]}$ 只有一个交点，请直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（3）若直线 $\text{[math]}$ 与该抛物线交于 $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 左侧），连接 $\text{[math]}$ ．设直线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ；令 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式．

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21. 阅读：如图1，点A是 $\text{[math]}$ 外一点，点P是 $\text{[math]}$ 上一动点．若 $\text{[math]}$ 的半径为3， $\text{[math]}$ 长度为5，则根据： $\text{[math]}$ ，得到点P到点A的最短距离为： $\text{[math]}$ ．
解决问题：

（1）如图2，已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边 $\text{[math]}$ 方向向终点C和D运动，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 交于点P ．
①证明： $\text{[math]}$ ．
②求点P到点C的最短距离．

（2）如图3，在平面直角坐标系中，等边 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在x轴正半轴上，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D从B点出发，沿 $\text{[math]}$ 运动到O ，点E同时从O点以相同的速度出发，沿 $\text{[math]}$ 运动到A ，连接 $\text{[math]}$ ，交点为F ， M是y轴上一点，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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22. 蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形 $\text{[math]}$ 和抛物线的一部分 $\text{[math]}$ 构成（以下简记为“抛物线 $\text{[math]}$ ”），其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，现取 $\text{[math]}$ 中点O ，过点O作线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 交抛物线 $\text{[math]}$ 于点E ， $\text{[math]}$ ，若以O点为原点， $\text{[math]}$ 所在直线为x轴， $\text{[math]}$ 为y轴建立如图①所示平面直角坐标系．请结合图形解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图②，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中L ， R在抛物线 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ，求两个正方形装置的间距 $\text{[math]}$ 的长；

（3）如图③，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，大棚截面的阴影为 $\text{[math]}$ ，此刻，过点K的太阳光线所在的直线与抛物线 $\text{[math]}$ 交于点P ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

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23. 综合运用
已知：抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ .
图1 图2 备用图

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1：抛物线的对称轴交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，在抛物线对称轴上找点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰三角形，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；（不需要证明）

（3）如图2：点 $\text{[math]}$ 在对称轴上，以点 $\text{[math]}$ 为圆心过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的圆与直线 $\text{[math]}$ 相切，求点 $\text{[math]}$ 的坐标.

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$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	0	1	2	3	4	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	5	0	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	0	5	$\text{[math]}$

x	…	$\text{[math]}$	0	1	2	3	4	…
y	…	8	3	0	$\text{[math]}$	m	3	…

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