2021-2022学年浙教版数学九下2.3 三角形的内切圆同步练习

修改时间：2022-02-07 浏览次数：120 类型：同步测试编辑

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一、单选题

1. 一直角三角形的斜边长为c，其内切圆半径是r，则三角形面积与其内切圆的面积之比是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝35°，则∠BIC等于（）

A . 35° B . 70° C . 145° D . 107.5°

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3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，使用尺规作射线 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，下列判断正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内心 D . 点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离相等

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4. 利用尺规作一个任意三角形的内心 $\text{[math]}$ ，以下作法正确的是（）

A . B . C . D .

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5. 如图，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内心， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 4

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6. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 其周长为20，⊙I是 $\text{[math]}$ 的内切圆，其半径为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的外接圆半径为（）

A . 7 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图所示，在4×4的网格中，A、B、C、D、O均在格点上，则点O是（）

A . △ABC的内心 B . △ABC的外心 C . △ACD的外心 D . △ACD的重心

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8. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于D，⊙O为 $\text{[math]}$ 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．小丽按照下列方法作图：
①作 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点D；

②作 $\text{[math]}$ 的垂直平分线，交 $\text{[math]}$ 于点E ．

根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（）

A . 点E是 $\text{[math]}$ 的外心 B . 点E是 $\text{[math]}$ 的内心 C . 点E在 $\text{[math]}$ 的平分线上 D . 点E到 $\text{[math]}$ 边的距离相等

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10. ⊙O为△ABC的内切圆，那么点O是△ABC的（）

A . 三条中线交点 B . 三条高的交点 C . 三条边的垂直平分线的交点 D . 三条角平分线交点

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二、填空题

11. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为．

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12. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的内切圆面积（结果保留 $\text{[math]}$ ）．

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13. 如图，已知 $\text{[math]}$ 的半径为2，弦 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为优弧 $\text{[math]}$ 上动点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内心，当点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动时，点 $\text{[math]}$ 移动的路径长为.

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14. 已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于．

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15. 已知△ABC 的三边之和为m，S_△ABC=S，则它的内心到各边的距离均为.

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16. 如图，边长为 $\text{[math]}$ 的等边△ABC的内切圆的半径为.

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三、综合题

17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心（三角形三个内角平分线的交点），连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF、BE

（1）求证：DB＝DE

（2）求证：直线CF为⊙O的切线

（3）若CF＝4，求图中阴影部分的面积

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18. 如图，开口向上的抛物线y＝ax²﹣2ax﹣3a与X轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），顶点为D.经过点A的直线y＝kx+b（k＞0）与抛物线的另一个交点为C.

（1）求点C的坐标（用含a、k的代数式表示）.

（2）当△ACD的内心恰在X轴上时，求 $\text{[math]}$ 得值.

（3）已知△ADB为直角三角形：
①a的值等于（直接写出结果）.

②若直线AC下方的拋物线上存在点P，使△APC∽△ADB，求ｋ的值及点P的坐标.

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19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转90°后得到 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 三点旋转后的对应点分别是 $\text{[math]}$ ），画出 $\text{[math]}$ ．

（2）设 $\text{[math]}$ 的内切圆的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的外接圆的半径为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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20. 阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：

莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则 $\text{[math]}$ .

如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d²＝R²﹣2Rr．

下面是该定理的证明过程（部分）：

延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.

∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，

∴△MDI∽△ANI，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ①，

如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，

∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，

∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，

∴∠DBE=∠IFA，

∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，

∴△AIF∽△EDB，

∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ②，

任务：

（1）观察发现： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ (用含R，d的代数式表示)；

（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；

（3）请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm.

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21. 如图，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内心， $\text{[math]}$ 的延长线和 $\text{[math]}$ 的外接圆 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；

（2）求证： $\text{[math]}$ ；

（3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径.

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22. 有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形.

（1）如图1，在等邻边互补四边形ABCD中，AD=CD，且AD//BC， BC=2AD，求∠B的度数；

（2）如图2，四边形ABCD内接于圆O，连结DO交AC于点E (不与点O重合)，若E是AC的中点，求证：四边形ABCD是等邻边互补四边形；

（3）在(2) 的条件下，延长DO交BC于点F，交圆0于点G，若弧BG=弧AB， tan∠ABC= $\text{[math]}$ ，AC=12，求FG的长；

（4）如图3，四边形ABCD内接于圆O，AB=BC， BD为圆0的直径，连结AO并延长交BC于点E，交圆0于点F，连结FC，设tan∠BAF=x， $\text{[math]}$ ，求y与x之间的函数关系式.

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23. 已知直线y= $\text{[math]}$ 分别交x轴、y轴于A、B两点.点P从A点出发在x轴上以每秒5个单位的速度向左运动，同时点Q从A点出发沿射线AB以每秒4个单位的速度运动.

（1）试说明：运动过程中PQ始终垂直于AB；

（2）当四边形BOPQ的面积是△ABO面积的一半时，求出发多长时间？

（3）当△APQ的内心恰好在OB上时，求运动时间.

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24. 在△ABC中，∠C= $\text{[math]}$ ，⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均相切，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n.

（1）当 $\text{[math]}$ =90°时，AC=6，BC=8时，m=，n=.

（2）当 $\text{[math]}$ 取下列度数时，求△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示，并直接写出答案）.①如图， $\text{[math]}$ =90°；②如图， $\text{[math]}$ =60°.

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25. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2．AD⊥BC于D．E为边BC上的一个（不与B、C重合）点，且AE⊥EF于E，∠EAF＝∠B，AF相交于点F．

（1）填空：AC＝；∠F＝．

（2）当BD＝DE时，证明：△ABC≌△EAF．

（3） △EAF面积的最小值是．

（4）当△EAF的内心在△ABC的外部时，直接写出AE的范围．

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26. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI $\text{[math]}$ =R $\text{[math]}$ -2Rr.

下面是该定理的证明过程（借助了第（2）问的结论）：

延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.

∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等），

∴△MDI∽△ANI.∴ $\text{[math]}$ ，∴IA×ID=IM×IN①

如图②，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF

∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°.

∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，

∴∠DBE=∠IFA．

∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），

∴△AIF∽△EDB．

∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ②，

由（2）知： $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$

又∵ $\text{[math]}$ ，

∴2Rr=（R+d）（R-d），

∴R $\text{[math]}$ -d $\text{[math]}$ =2Rr

∴d $\text{[math]}$ =R $\text{[math]}$ -2Rr

任务：

（1）观察发现：IM=R+d，IN=（用含R，d的代数式表示）；

（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由.（请利用图1证明）

（3）应用：若△ABC的外接圆的半径为6cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离cm．

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27. 如图，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内心， $\text{[math]}$ 的延长线和 $\text{[math]}$ 的外接圆圆 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 的切线；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求优弧 $\text{[math]}$ 的长.

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2021-2022学年浙教版数学九下2.3 三角形的内切圆同步练习

一、单选题

二、填空题

三、综合题

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