人教新课标A版选修2-2数学2.3数学归纳法同步练习

修改时间：2021-05-20 浏览次数：645 类型：同步测试编辑

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一、选择题

1. 用数学归纳法证明 $\text{[math]}$ (n∈N^* ， n>1)时，第一步应验证不等式(　　)

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 用数学归纳法证明 $\text{[math]}$ 在验证n＝1时，左边所得的项为(　　)

A . 1 B . 1＋a＋a² C . 1＋a D . 1＋a＋a²＋a³

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3. 设 $\text{[math]}$ 那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N^*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　)

A . 当n＝6时该命题不成立 B . 当n＝6时该命题成立 C . 当n＝4时该命题不成立 D . 当n＝4时该命题成立

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5. 用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xⁿ＋yⁿ能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是(　　)

A . 假设n＝k(k∈N^*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立 B . 假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立 C . 假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立 D . 假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立

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6. 凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　　)

A . f(n)＋n＋1 B . f(n)＋n C . f(n)＋n－1 D . f(n)＋n－2

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7. 如果命题p(n)对n＝k(k∈N_＋)成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2也成立，则下列结论正确的是(　　)

A . p(n)对所有正整数n都成立 B . p(n)对所有正偶数n都成立 C . p(n)对所有正奇数n都成立 D . p(n)对所有自然数n都成立

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8. 用数学归纳法证明“1＋2＋2²＋…＋2ⁿ^－¹＝2ⁿ－1(n∈N_＋)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，应得到(　　)

A . 1＋2＋2²＋…＋2^k^－²＋2^k^－¹＝2^k^＋¹－1 B . 1＋2＋2²＋…＋2^k＋2^k^＋¹＝2^k－1＋2^k^＋¹ C . 1＋2＋2²＋…＋2^k^－¹＋2^k^＋¹＝2^k^＋¹－1 D . 1＋2＋2²＋…＋2^k^－¹＋2^k＝2^k^＋¹－1

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9. 用数学归纳法证明“n³＋(n＋1)³＋(n＋2)³(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证 n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)

A . (k＋3)³ B . (k＋2)³ C . (k＋1)³ D . (k＋1)³＋(k＋2)

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10. 下列代数式(其中k∈N_＋)能被9整除的是(　　)

A . 6＋6·7^k B . 2＋7^k^－¹ C . 2(2＋7^k^＋¹) D . 3(2＋7^k）

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11. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n²＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)

A . k²＋1 B . (k＋1)² C . $\text{[math]}$ D . (k²＋1)＋(k²＋2)＋(k²＋3)＋…＋(k＋1)²

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12. 已知1＋2×3＋3×3²＋4×3³＋…＋n×3ⁿ^－¹＝3ⁿ(na－b)＋c对一切n∈N_＋都成立，则a、b、c的值为(　　)

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . a=0， $\text{[math]}$ D . 不存在这样的a、b、c

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13. 对于不等式 $\text{[math]}$ 某同学用数学归纳法证明的过程如下：
(1)当n=1时， $\text{[math]}$ ，不等式成立。
(2)假设当n=k( $\text{[math]}$ )时，不等式成立，即 $\text{[math]}$ ，
则当n=k+1时， $\text{[math]}$ ，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)

A . 过程全部正确 B . n＝1验得不正确 C . 归纳假设不正确 D . 从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

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14. 用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2ⁿ·1·2 ·…·(2 n－1)(n∈N_＋)”时，从“n＝k到n＝k＋1”时，左边应增添的式子是(　　)

A . 2k＋1 B . 2k＋3 C . 2(2k＋1) D . 2(2k＋3)

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15. 设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.(　　)

A . 2π B . π C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

16. 用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xⁿ＋yⁿ能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N_＋)命题为真时，进而需证n＝时，命题亦真．

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17. 用数学归纳法证明“2ⁿ^＋1≥n²＋n＋2(n∈N_＋)”时，第一步验证为．

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18. 已知数列 $\text{[math]}$ ，通过计算得 $\text{[math]}$ ，由此可猜测S_n＝.

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19. 用数学归纳法证明： $\text{[math]}$ 第一步应验证的等式是．

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20. $\text{[math]}$ 已知数列{a_n}的通项公式 $\text{[math]}$ (n∈N_＋)，f(n)＝(1－a₁)(1－a₂)…(1－a_n)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的值是

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三、解答题

21. 数列{a_n}满足S_n＝2n－a_n(n∈N^*)．

（1）计算a₁ ， a₂ ， a₃ ， a₄ ，并由此猜想通项公式a_n；

（2）用数学归纳法证明(1)中的猜想．

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22. 首项为正数的数列{a_n}满足a_n_＋₁＝(a＋3)，n∈N^*.

（1）证明：若a₁为奇数，则对一切n≥2，a_n都是奇数；

（2）若对一切n∈N^*都有a_n_＋₁>a_n ，求a₁的取值范围．

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23. 已知点P_n(a_n ， b_n)满足a_n_＋₁＝a_n·b_n_＋₁ ， b_n_＋₁＝(n∈N^*)且点P₁的坐标为(1，－1)．

（1）求过点P₁ ， P₂的直线l的方程；

（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N^* ，点P_n都在(1)中的直线l上．

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24. 数列{a_n}满足S_n＝2n－a_n(n∈N^*)．

（1）计算a₁、a₂、a₃ ，并猜想a_n的通项公式；

（2）用数学归纳法证明(1)中的猜想．

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25. 设0<a<1，定义a₁＝1＋a， $\text{[math]}$ ，求证：对任意n∈N_＋，有 $\text{[math]}$

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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