备考2024年中考数学核心素养专题六数与式的新定义问题

修改时间：2024-03-11 浏览次数：51 类型：二轮复习编辑

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一、选择题

1. 定义一种新运算： $\text{[math]}$ ※ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ※ $\text{[math]}$ 的是（）．

A . －1 B . 1 C . 3 D . 2

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2. 定义：给定关于x的函数 y ，对于该函数图象上任意两点（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂），当x₁﹤x₂时，都有y₁﹤y₂ ，称该函数为增函数.根据以上定义，下列函数中①y=2x；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，是增函数的（）

A . ①③④ B . ①② C . ③④ D . ①③

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3. 对于整数n，定义 $\text{[math]}$ 为不大于 $\text{[math]}$ 的最大整数，例如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .对26进行如下操作： $\text{[math]}$ ，即对26进行2次操作后变为2.若对整数a进行2次操作后变为3，则a的最大值为（）

A . 256 B . 255 C . 81 D . 80

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4. 定义一种运算： $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集是（）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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5. 定义新运算： $\text{[math]}$ ，则对于函数 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 增大而增大 B . 该函数图象经过点 $\text{[math]}$ C . 该函数图象位于第一、三象限 D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

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6. 定义新运算： $\text{[math]}$ 例如 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的图像可能是（）

A . B . C . D .

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7. 在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”.定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”.例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且 $\text{[math]}$ ， 6能被6整除；643不是“好数”，因为 $\text{[math]}$ ， 10不能被3整除.则百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是（）

A . 8 B . 7 C . 6 D . 5

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8. 定义 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；已知函数 $\text{[math]}$ ，则该函数的最大值是（）

A . -15 B . -9 C . -6 D . 6

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9. 定义：如果代数式 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是常数)与 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是常数)，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则称这两个代数式 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为“和谐式”，对于上述“和谐式” $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，下列三个结论正确的个数为（）
①若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为-1；
②若 $\text{[math]}$ 为常数，关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的解相同，则 $\text{[math]}$ ；
③若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 有最小值，且最小值为1.

A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个

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10. 我们定义一种新函数：形如 $\text{[math]}$ 的函数叫做“鹊桥”函数 $\text{[math]}$ 数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 当直线 $\text{[math]}$ 与该图像恰有三个公共点时，则 $\text{[math]}$ D . 关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的所有实数根的和为 $\text{[math]}$

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二、填空题

11. 对于实数a，b，定义运算“◎”如下：
a◎b＝（a+b）²-（a-b）² ．若（m+1）◎（m-2）＝16，

则m＝．

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12. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且 $\text{[math]}$ ，则称这个正整数为“智慧优数”.例如， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 就是一个智慧优数，可以利用 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是.

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13. 对于任意非零实数a、b，定义一种新运算“*”如下：a*b= $\text{[math]}$ ，则1*2+ 2*3+3*4+……+2020*2021= ．

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14. 定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a $\text{[math]}$ b= $\text{[math]}$ ．若(x+1) $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ ，则x的值为

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15. 若定义一种新运算： $\text{[math]}$ ，例如： $\text{[math]}$ @ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ @ $\text{[math]}$ 下列说法：

（1） $\text{[math]}$ @ $\text{[math]}$ ；

（2） $\text{[math]}$ @ $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 为常数 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 个交点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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16. 定义：若一个函数图象上存在横纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的图象的“等值点”．若函数 $\text{[math]}$ 的图象记为 $\text{[math]}$ ，将其沿直线 $\text{[math]}$ 翻折后的图象记为 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时， $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 在实数范围内定义新运算“ $\text{[math]}$ ”，其规则为： $\text{[math]}$ ，根据这个规则，解决下列问题：

（1）求 $\text{[math]}$ 中的x值；

（2）证明： $\text{[math]}$ 中，无论m为何值，x总有两个不同的值.

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18. 定义一种新运算： $\text{[math]}$ ，如 $\text{[math]}$ ，按照上述定义计算 $\text{[math]}$ 的值.

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19. 定义：若两个二次根式a ， b满足 $\text{[math]}$ ，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．

（1）若a与 $\text{[math]}$ 是关于4的共轭二次根式，则a=

（2）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是关于12的共轭二次根式，求m的值．

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20. 请你根据王老师所给的内容（如表），完成下列各小题．
我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：a〇b＝ax+by．例如：3〇2＝3x+2y．

（1）如果x＝5，2〇4＝-18，求y的值；

（2）若1〇1＝8，4〇2＝20，求x，y的值．

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21. 对于数轴上不重合的两点A ， B ，给出如下定义：若数轴上存在一点M ，通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．若线段AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．

（1）当数轴上原点为O ，点A表示的数为-1，点B表示的数为5时
①点O到线段AB的“绝对距离”为；
②点M表示的数为m ，若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则m的值为；

（2）在数轴上，点P表示的数为-6，点A表示的数为-3，点B表示的数为2．点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动，设移动的时间为 $\text{[math]}$ 秒，当点P到线段AB的“绝对距离”为2时，求t的值．

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22. 对于平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中的点 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ ， k叫做点P的“斜值”．

（1）直接写出点 $\text{[math]}$ 的“斜值”k的值；

（2）若点 $\text{[math]}$ 的“斜值” $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；

（3）如图，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若正方形 $\text{[math]}$ 的边上存在两个点的“斜值”为 $\text{[math]}$ ，直接写出m的取值范围．

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23. 定义：在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，当点 $\text{[math]}$ 在图形 $\text{[math]}$ 的内部，或在图形 $\text{[math]}$ 上，且点 $\text{[math]}$ 的横坐标和纵坐标相等时，则称点 $\text{[math]}$ 为图形 $\text{[math]}$ 的“和谐点”．

（1）如图，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点坐标分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，是矩形 $\text{[math]}$ “和谐点”的是；

（2）点 $\text{[math]}$ 是反比例函数 $\text{[math]}$ 图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点” $\text{[math]}$ 的坐标是，直线 $\text{[math]}$ 的表达式是 $\text{[math]}$ ；

（3）已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上的“和谐点”，点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧，点 $\text{[math]}$ 是抛物线的顶点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标，并直接写出 $\text{[math]}$ 的面积．

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24. 若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数” $\text{[math]}$ ，其“明德点”为 $\text{[math]}$ .

（1） ①判断：函数 $\text{[math]}$ “明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数 $\text{[math]}$ 的图像上的明德点是；

（2）若抛物线 $\text{[math]}$ 上有两个“明德点”，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（3）若函数 $\text{[math]}$ 的图象上存在唯一的一个“明德点”，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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25. 对于正数 $\text{[math]}$ ，用符号 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 的整数部分，例如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在第一象限内，以 $\text{[math]}$ 为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直 $\text{[math]}$ 其中垂直于 $\text{[math]}$ 轴的边长为 $\text{[math]}$ ，垂直于 $\text{[math]}$ 轴的边长为 $\text{[math]}$ ，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点 $\text{[math]}$ 的矩形域 $\text{[math]}$ 例如：点 $\text{[math]}$ 的矩形域是一个以 $\text{[math]}$ 为对角线交点，长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的矩形所覆盖的区域，如图 $\text{[math]}$ 所示，它的面积是 $\text{[math]}$ ．
根据上面的定义，回答下列问题：

（1）在图 $\text{[math]}$ 所示的坐标系中画出点 $\text{[math]}$ 的矩形域，该矩形域的面积是；

（2）点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的矩形域重叠部分面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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26. 【定义】在平面直角坐标系xOy中，对于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：若 $\text{[math]}$ ，则称点Q为点P的限变点，例如：点 $\text{[math]}$ 的限变点的坐标是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的限变点的坐标是 $\text{[math]}$ ．
【应用】

（1） ①点 $\text{[math]}$ 的限变点的坐标是；
②以下三个选项中的点是反比例函数 $\text{[math]}$ 图象上某一个点的限变点的是（）

A． $\text{[math]}$ B． $\text{[math]}$ C． $\text{[math]}$

（2）若点P在一次函数 $\text{[math]}$ 的图象上，请在下图平面直角坐标系中，画出点P的限变点Q的函数图象，并根据图象直接写出点Q的纵坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

（3）【拓展】
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．若点P在关于x的二次函数 $\text{[math]}$ 的图象上，其限变点Q的纵坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，求s关于t的函数解析式．

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27. 定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”。

（1）【概念理解】抛物线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ （填“能”或“不能”)围成“月牙线”.

（2）【尝试应用】如图，抛物线C₁与抛物线C₂组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C₁与抛物线C₂与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B，抛物线C₁的解析式为 $\text{[math]}$ ，抛物线C₂的解析式为 $\text{[math]}$ .
①求MN的长和c的值；
②将抛物线C₁与抛物线C₂所围成的“月牙线”向左或向右平移，平移后的“月牙线”与x轴的交点记为M₁ ， N₁ ，与y轴的交点记为A₁ ， B₁ ，当A₁B₁=M₁N₁时，求平移的方向及相应的距离。

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28. 定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．
例如： $\text{[math]}$ 的“同轴对称抛物线”为 $\text{[math]}$ ．

（1）抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点坐标为，它的“同轴对称抛物线”为；

（2）如图，在平面直角坐标系中，第四象限的点B是抛物线 $\text{[math]}$ 上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线 $\text{[math]}$ 的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴对称的点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连接BC、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．当四边形 $\text{[math]}$ 为正方形时，求a的值．

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29. 定义：在平面直角坐标系xOy中，对于 $\text{[math]}$ 内的一点P ，若在 $\text{[math]}$ 外存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称点P为 $\text{[math]}$ 的“内二分点”.

（1）当 $\text{[math]}$ 的半径为2时，
①在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四个点中，是 $\text{[math]}$ 的“内二分点”的是 ▲ ；
②已知一次函数 $\text{[math]}$ 在第一象限的图象上的所有点都是 $\text{[math]}$ 的“内二分点”，求k的取值范围；

（2）已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的半径为4，若线段BC上存在 $\text{[math]}$ 的“内二分点”，直接写出m的取值范围.

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30. 新定义：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点P（a，a+2），则称点P为函数图象上的“朴实点”．例如：直线y＝2x+1上存在的“朴实点”是P（1，3）．

（1）判断直线y＝ $\text{[math]}$ x+4上是否有“朴实点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由；

（2）若抛物线y＝x²+3x+2-k上存在两个“朴实点”，两个“朴实点”之间的距离为2 $\text{[math]}$ ，求k的值；

（3）若二次函数y＝ $\text{[math]}$ x²+（m-t+1）x+2n+2t-2的图象上存在唯一的“朴实点”，且当-2≤m≤3时，n的最小值为t+4，求t的值．

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