新定义型—广东省（人教版）数学九（上）期末复习

1. 对于实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，定义运算“ $\text{[math]}$ ”： $\text{[math]}$ ，例如： $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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2. 定义：如果一元二次方程 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，那么我们称这个方程为“美丽”方程，已知 $\text{[math]}$ 是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 对于实数a，b定义运算“ $\text{[math]}$ ”为 $\text{[math]}$ ，例如 $\text{[math]}$ ，则关于x的方程 $\text{[math]}$ 的根的情况，下列说法正确的是（）

A . 有两个不相等的实数根 B . 有两个相等的实数根 C . 没有实数根 D . 无法确定

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4. 对于实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，我们定义运算 $\text{[math]}$ ，例如： $\text{[math]}$ ，上述记号就叫做二阶行列式．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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5. 定义： $\text{[math]}$ 表示取a，b中最小的数，即：①当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ ， ②当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ ，如 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 0 B . 2 C . 3 D . 4

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6. 定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，则在该范围内方程 $\text{[math]}$ 的解有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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7. 定义 $\text{[math]}$ 表示不超过实数 $\text{[math]}$ 的最大整数，如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ 的解为（）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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8. 对于实数 $\text{[math]}$ ，定义运算“※”： $\text{[math]}$ ※ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根，则 $\text{[math]}$ ※ $\text{[math]}$ =．

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9. 如果我们定义 $\text{[math]}$ 为二次函数 $\text{[math]}$ 的“有序数集”，如函数 $\text{[math]}$ 的“有序数集”为 $\text{[math]}$ ．若一个二次函数的“有序数集”是 $\text{[math]}$ ，则将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的图象对应的函数的“有序数集”是

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10. 对于两个不相等的实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，我们规定符号 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中较大的数，如： $\text{[math]}$ ．

（1）方程 $\text{[math]}$ 的解为；

（2）方程 $\text{[math]}$ 的解为．

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11. 关于x的一元二次方程a₁（x﹣m）²+k＝0与a₂（x﹣m）²+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）²+4＝0与3（x﹣3）²+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）²+1＝0与（a+2）x²+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ab的值为．

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12. 对于实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，我们用符号 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两数中较小的数，如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. 定义：由a，b构造的二次函数 $\text{[math]}$ 叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数 $\text{[math]}$ 的“本源函数”（a，b为常数，且 $\text{[math]}$ ）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是 $\text{[math]}$ ，那么二次函数 $\text{[math]}$ 的“本源函数”是．

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14. 新定义：关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 称为“同族二次方程”．如 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是“同族二次方程”，那么代数式 $\text{[math]}$ 能取的最小值是．

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15. 我们定义：形如 $\text{[math]}$ 的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示．则下列结论：① $\text{[math]}$ ； ② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的图象有2个公共点，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．正确的有（填序号）

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16. 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根 $\text{[math]}$ 有如下的关系（韦达定理）： $\text{[math]}$ ；
材料2：如果实数m、n满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则可利用根的定义构造一元二次方程 $\text{[math]}$ ，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：

（1） ①已知一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两根分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______， $\text{[math]}$ ______．
②已知实数a，b满足： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______．

（2）已知实数m、n、t满足： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

（3）设实数a，b分别满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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17. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax²+ $\text{[math]}$ cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．

（1）以下方程为“直系一元二次方程”的是；（填序号）
①3x²+4 $\text{[math]}$ x+5＝0；②5x²+13 $\text{[math]}$ x+12＝0．

（2）若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax²+ $\text{[math]}$ cx+b＝0的一个根，且△ABC的周长为2 $\text{[math]}$ +2，求c的值．

（3）求证：关于x的“直系一元二次方程”ax²+ $\text{[math]}$ cx+b＝0必有实数根．

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18. 如图，直线： $\text{[math]}$ 与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 $\text{[math]}$ 经过B、C两点．

（1）求抛物线的表达式．

（2）若 M 是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的一动点，当 $\text{[math]}$ 面积最大时，请求出点 M的坐标．

（3）新定义：若 E 是抛物线对称轴上一动点，把 $\text{[math]}$ 绕点 E 旋转 $\text{[math]}$ 点O 的对应点为G，若点 G 恰好落在抛物线上，则称这样的点 E 为“好点”，请直接写出所有“好点”E 的坐标．

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19. 某学校数学兴趣小组的成员在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：
新定义：把长方形 $\text{[math]}$ 绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”如图1，在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是对角线，

（1）如图1，把长方形 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针作“对角旋转”，使边 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上，此时点B的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点C的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点D的对应点为点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 度数为 $\text{[math]}$ ，请直接写出“对角旋转角”的度数；（用含有 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

（2）在（1）的条件下，如 $\text{[math]}$ ，那么把长方形 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针作“对角旋转”，使边 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上，点B的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点C的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点D的对应点为点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的度数；

（3）在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，在（1）（2）的基础上经“对角旋转”后，点C的对应点分别为点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 面积为312， $\text{[math]}$ 面积为130，请直接写出此时长方形 $\text{[math]}$ 的面积．

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20. 定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C₁：y＝x²+2x﹣3与抛物线C₂：y＝ax²+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C₁和抛物线C₂与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．

（1）求抛物线C₂的解析式和点G的坐标．

（2）点M是x轴下方抛物线C₁上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C₂于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．

（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．

（1）以下四边形中，是勾股四边形的为________（填序号即可）；
①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意四边形；④有一个角为60°的菱形．

（2）如图1，将 $\text{[math]}$ 绕顶点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ．
①连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是勾股四边形．
②如图2，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针方向旋转得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度．

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22. 给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．

（1）以下四边形中，是勾股四边形的为（填序号即可）；
①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为 $\text{[math]}$ 的菱形．

（2）如图1，将 $\text{[math]}$ 绕顶点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ．
①连接AD ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求证：四边形ABCD是勾股四边形．
②如图2，将DE绕点 $\text{[math]}$ 顺时针方向旋转得到EF ，连接BF ， BF与AE交于点 $\text{[math]}$ ，连接CP ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求AC的长度．

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23. 定义：平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，当点 $\text{[math]}$ 在图形 $\text{[math]}$ 的内部，或在图形 $\text{[math]}$ 上，且点 $\text{[math]}$ 的横坐标和纵坐标相等时，则称点 $\text{[math]}$ 为图形 $\text{[math]}$ 的“梦之点”．

（1）如图 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点坐标分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，是矩形 $\text{[math]}$ “梦之点”的是；

（2）如图 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上的“梦之点”，点 $\text{[math]}$ 是抛物线的顶点．
①求出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三条线段的长度；
②判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．

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24. 【阅读理解】在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
例　解方程： $\text{[math]}$ ．
解：原方程变形，得 $\text{[math]}$ ．
由平方差公式，得 $\text{[math]}$ ．
移项，得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
直接开平方并整理，得 $\text{[math]}$ ．
我们称这种解法为“平均数法”。

（1）下面是小明用“平均数法”解方程 $\text{[math]}$ 的过程．
解：原方程变形，得 $\text{[math]}$ ．
由平方差公式，得 $\text{[math]}$ 。
移项，得 $\text{[math]}$ 。
直接开平方并整理，得 $\text{[math]}$ ．
上述过程中的 $\text{[math]}$ 表示的数分别为，，，；

（2）请用“平均数法”解方程： $\text{[math]}$ ．

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25. 阅读材料：配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方公式的和的方法。这种方法被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题。
我们定义：一个整数能表示成a²+b²（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”
例如5是“完美数”，理由是5=2²+1².

（1） [解决问题]数53“完美数”（填是或不是）

（2）问题探究：已知x²+y²－4x+2y+5=0，则x+y=

（3）已知S=2x²+y²+2xy+12x+k（x，y，k都是整数）要使得S为“完美数”试求出符合条件的k值。

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26. 定义：如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“完美方程”．

（1）下面方程是“完美方程”的是．（填序号）①x²-4x+3＝0；②2x²+x+3＝0；③2x²-x-3＝0．

（2）已知3x²+mx+n＝0是关于x的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一个根，求m的值．

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新定义型—广东省（人教版）数学九（上）期末复习

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、阅读理解题

五、实践探究题

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、阅读理解题

五、实践探究题

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