江苏中考数学历年真题分类卷7 函数综合题和压轴题

修改时间：2021-09-29 浏览次数：166 类型：二轮复习编辑

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一、单选题

1. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，垂足分别为E，F，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .动点P，Q均以 $\text{[math]}$ 的速度同时从点A出发，其中点P沿折线 $\text{[math]}$ 运动到点B停止，点Q沿 $\text{[math]}$ 运动到点B停止，设运动时间为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则y与t对应关系的图象大致是（）

A . B . C . D .

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2. 为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控.该商品的价格 $\text{[math]}$ （元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设 $\text{[math]}$ （元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则 $\text{[math]}$ 随t变化的图象大致是（）

A . B . C . D .

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3. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 图象上的点，当 $\text{[math]}$ 时，总有 $\text{[math]}$ 恒成立，则称函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是“逼近函数”， $\text{[math]}$ 为“逼近区间”.则下列结论：
①函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是“逼近函数”；②函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是“逼近函数”；③ $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“逼近区间”；④ $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“逼近区间”.其中，正确的有（）

A . ②③ B . ①④ C . ①③ D . ②④

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4. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P是 $\text{[math]}$ 所在平面内一点，则 $\text{[math]}$ 取得最小值时，下列结论正确的是（）

A . 点P是 $\text{[math]}$ 三边垂直平分线的交点 B . 点P是 $\text{[math]}$ 三条内角平分线的交点 C . 点P是 $\text{[math]}$ 三条高的交点 D . 点P是 $\text{[math]}$ 三条中线的交点

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5. 如图，线段 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ .已知点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 移动，到达点 $\text{[math]}$ 后停止移动，在点 $\text{[math]}$ 移动过程中作如下操作：先以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面.设点 $\text{[math]}$ 的移动时间为（秒）.两个圆锥的底面面积之和为 $\text{[math]}$ .则 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数图象大致是（）

A . B . C . D .

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6. 如图，点P是函数 $\text{[math]}$ 的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数 $\text{[math]}$ 的图像于点C、D，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ，其中正确的是（）

A . ①② B . ①③ C . ②③ D . ①

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7. 如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s.现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm²），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（）

A . 96cm² B . 84cm² C . 72cm² D . 56cm²

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8. 如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC绕点A逆时针旋转α(0<α<120°)得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与BC，AC分别交于点D，E.设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数图象大致为（）

A . B . C . D .

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9. 随着时代的进步，人们对 $\text{[math]}$ （空气中直径小于等于 $\text{[math]}$ 微米的颗粒）的关注日益密切.某市一天中 $\text{[math]}$ 的值 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）随时间 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的变化如图所示，设 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 时到 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 的值的极差（即 $\text{[math]}$ 时到 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 的最大值与最小值的差），则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系大致是（）

A . B . C . D .

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二、综合题

10. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，正比例函数 $\text{[math]}$ 和二次函数 $\text{[math]}$ 的图象都经过点 $\text{[math]}$ 和点B，过点A作 $\text{[math]}$ 的垂线交x轴于点C.D是线段 $\text{[math]}$ 上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为邻边作 $\text{[math]}$ .

（1）填空： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2）设点D的横坐标是 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，求t的值；

（3）过点F作 $\text{[math]}$ 的垂线交线段 $\text{[math]}$ 于点P.若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

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11. 为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到如下图表：

该地区每周接种疫苗人数统计表

周次

第1周

第2周

第3周

第4周

第5周

第6周

第7周

第8周

接种人数（万人）

该地区全民接种疫苗情况扇形统计图

A：建议接种疫苗已接种人群

B：建议接种疫苗尚未接种人群

C：暂不建议接种疫苗人群

根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第3周开始这些点大致分布在一条直线附近，现过其中两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为 $\text{[math]}$ ），那么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势.

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）这八周中每周接种人数的平均数为万人：该地区的总人口约为万人；

（2）若从第9周开始，每周的接种人数仍符合上述变化趋势.

①估计第9周的接种人数约为 ▲ 万人；

②专家表示：疫苗接种率至少达60%，才能实现全民免疫.那么，从推广疫苗接种工作开始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？

（3）实际上，受疫苗供应等客观因素，从第9周开始接种人数将会逐周减少 $\text{[math]}$ 万人，为了尽快提高接种率，一旦周接种人数低于20万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得之后每周的接种能力一直维持在20万人.如果 $\text{[math]}$ ，那么该地区的建议接种人群最早将于第几周全部完成接种？

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12. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交 $\text{[math]}$ 于点F，交二次函数 $\text{[math]}$ 的图象于点E.

（1）求二次函数的表达式；

（2）当以C、E、F为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似时，求线段 $\text{[math]}$ 的长度；

（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线 $\text{[math]}$ 对称，求点N的坐标.

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13. 将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A(﹣6，0)，点B(0，2)，点C(﹣4，8)，二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D.

（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；

（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开.
①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

②连接MP，NP，在下列选项中：A.折痕与AB垂直，B.折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C. $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，D. $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，所有正确选项的序号是 .

③点Q在二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象上，当 $\text{[math]}$ PDQ∼ $\text{[math]}$ PMN时，求点Q的坐标.

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14. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ $\text{[math]}$ x²＋bx＋c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2.矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）.

（1） b＝，c＝.

（2）连接BD，求直线BD的函数表达式.

（3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

（4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长.

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15. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C.连接AC，BC，点P在抛物线上运动.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA $\text{[math]}$ 45°时，求点P的坐标；

（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长.

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16. 如图，二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是实数，且 $\text{[math]}$ ）的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），其对称轴与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 位于第一象限，且在对称轴上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上， $\text{[math]}$ .连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点的坐标（用数字或含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

（2）已知点 $\text{[math]}$ 在抛物线的对称轴上，当 $\text{[math]}$ 的周长的最小值等于 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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17. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与x轴交于点. $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C.

（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2）若点D在该二次函数的图象上，且 $\text{[math]}$ ，求点D的坐标；

（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且 $\text{[math]}$ ，直接写出点P的坐标.

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18. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知 $\text{[math]}$ .

（1）求m的值和直线 $\text{[math]}$ 对应的函数表达式；

（2） P为抛物线上一点，若 $\text{[math]}$ ，请直接写出点P的坐标；

（3） Q为抛物线上一点，若 $\text{[math]}$ ，求点Q的坐标.

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19. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的图像交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，它的对称轴交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ .过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交抛物线于点 $\text{[math]}$ .直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

备用图

（1）点 $\text{[math]}$ 的坐标为：；

（2）当 $\text{[math]}$ 是直角三角形时，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3） $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有怎样的位置关系？请说明理由.

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20. 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的图像分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且位于 $\text{[math]}$ 轴右侧，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴左侧的交点为 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ 点的坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的顶点坐标为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）设直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴所夹的角为 $\text{[math]}$ .
①当 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的顶点时，求 $\text{[math]}$ 的值；

②若 $\text{[math]}$ ，试说明：当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 各自取不同的值时， $\text{[math]}$ 的值不变；

（3）若 $\text{[math]}$ ，试判断点 $\text{[math]}$ 是否为 $\text{[math]}$ 的顶点？请说明理由.

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21. 二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，顶点为E.

（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；

（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；

（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标.

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22. 若二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与x轴有两个交点 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ 过点A的直线l与x轴交于点 $\text{[math]}$ 与该函数的图象交于点B（异于点A）.满足 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）抛物线的开口方向（填“上”或“下”）；

（2）求直线 $\text{[math]}$ 相应的函数表达式；

（3）求该二次函数的表达式.

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23. 以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题 $\text{[math]}$ .

Ⅰ.在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下表：（单位：厘米）

$\text{[math]}$	2.8	2.7	2.6	2.3	2	1.5	0.4
$\text{[math]}$	0.4	0.8	1.2	1.6	2	2.4	2.8
$\text{[math]}$	3.2	3.5	3.8	3.9	4	3.9	3.2

Ⅱ.根据学习函数的经验，选取上表中 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数据进行分析；

$\text{[math]}$ 设 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为坐标，在图 $\text{[math]}$ 所示的坐标系中描出对应的点；

$\text{[math]}$ 连线；

Ⅲ.观察思考

结合表中的数据以及所面的图像，猜想.当 $\text{[math]}$ ▲ 时，y最大；

Ⅳ.进一步C猜想：若 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，斜边 $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$ ▲ 时， $\text{[math]}$ 最大.

推理证明

Ⅴ.对（4）中的猜想进行证明.

（1）问题1.在图 $\text{[math]}$ 中完善（1）的描点过程，并依次连线；

（2）问题2.补全观察思考中的两个猜想：Ⅲ；Ⅳ。

（3）问题3.证明上述Ⅴ中的猜想：

（4）问题4.图 $\text{[math]}$ 中折线 $\text{[math]}$ 是一个感光元件的截面设计草图，其中点 $\text{[math]}$ 间的距离是4厘米， $\text{[math]}$ 厘米， $\text{[math]}$ 平行光线从 $\text{[math]}$ 区域射入， $\text{[math]}$ 线段 $\text{[math]}$ 为感光区城，当 $\text{[math]}$ 的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值.

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24. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线 $\text{[math]}$ 交二次函数 $\text{[math]}$ 的图像于点A， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在该二次函数的图象上，设过点 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）且平行于 $\text{[math]}$ 轴的直线交直线 $\text{[math]}$ 于点M，交直线 $\text{[math]}$ 于点N，以线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为邻边作矩形 $\text{[math]}$ .

（1）若点A的横坐标为8.
①用含m的代数式表示M的坐标；

②点 $\text{[math]}$ 能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，若点 $\text{[math]}$ 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式.

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25. 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与 $\text{[math]}$ 轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点 $\text{[math]}$ .

（1）求b的值；

（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形.过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的值.

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26. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”.如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C.抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是“共根抛物线”，其顶点为P.

（1）若抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 对应的函数表达式；

（2）当 $\text{[math]}$ 的值最大时，求点P的坐标；

（3）设点Q是抛物线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似，求其“共根抛物线” $\text{[math]}$ 的顶点P的坐标.

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27. 如图①，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与直线l交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点.点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m.

（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2）若点N在点M的上方，且 $\text{[math]}$ ，求m的值；

（3）将直线 $\text{[math]}$ 向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）.
①记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，是否存在m，使得点N在直线 $\text{[math]}$ 的上方，且满足 $\text{[math]}$ ？若存在，求出m及相应的 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.

②当 $\text{[math]}$ 时，将线段 $\text{[math]}$ 绕点M顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，直接写出直线 $\text{[math]}$ 与该二次函数图象交点的横坐标.

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28. 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点 $\text{[math]}$ ，且顶点为D，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

（1）填空： $\text{[math]}$ ；

（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点Q.若 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；

（3）点E在直线 $\text{[math]}$ 上，点E关于直线 $\text{[math]}$ 对称的点为F，点F关于直线 $\text{[math]}$ 对称的点为G，连接 $\text{[math]}$ .当点F在x轴上时，直接写出 $\text{[math]}$ 的长.

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29. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为 $\text{[math]}$ ，点D的坐标为 $\text{[math]}$ .

（1）求该二次函数的表达式；

（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且 $\text{[math]}$ ，求点E的坐标.

（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 的面积的 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.

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30. 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 图象的顶点为 $\text{[math]}$ ，对称轴是直线 $\text{[math]}$ ，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，且与直线 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称直线交于点 $\text{[math]}$ .

（1）点 $\text{[math]}$ 的坐标是；

（2）直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点（不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合），点 $\text{[math]}$ 的纵坐标为 $\text{[math]}$ .过点 $\text{[math]}$ 作直线与线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似.
①当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

②若对于每一个确定的 $\text{[math]}$ 的值，有且只有一个 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似，请直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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31. 学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动.在相距 $\text{[math]}$ 个单位长度的直线跑道 $\text{[math]}$ 上，机器人甲从端点 $\text{[math]}$ 出发，匀速往返于端点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间，机器人乙同时从端点 $\text{[math]}$ 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间.他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计.兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种.

（1）【观察】
①观察图 $\text{[math]}$ ，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $\text{[math]}$ 之间的距离为 $\text{[math]}$ 个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 $\text{[math]}$ 之间的距离为个单位长度；

②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $\text{[math]}$ 之间的距离为 $\text{[math]}$ 个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 $\text{[math]}$ 之间的距离为个单位长度；

（2）【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $\text{[math]}$ 之间的距离为 $\text{[math]}$ 个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 $\text{[math]}$ 之间的距离为 $\text{[math]}$ 个单位长度.兴趣小组成员发现了 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系，并画出了部分函数图象（线段 $\text{[math]}$ ，不包括点 $\text{[math]}$ ，如图 $\text{[math]}$ 所示）.

① $\text{[math]}$ ＝；

②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图 $\text{[math]}$ 中补全函数图象；

（3）【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $\text{[math]}$ 之间的距离为 $\text{[math]}$ 个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点 $\text{[math]}$ 之间的距离为 $\text{[math]}$ 个单位长度.若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点 $\text{[math]}$ 之间的距离 $\text{[math]}$ 不超过 $\text{[math]}$ 个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $\text{[math]}$ 之间的距离 $\text{[math]}$ 的取值范围是.（直接写出结果）

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32. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L₁： $\text{[math]}$ 过点C(0，﹣3)，与抛物线L₂： $\text{[math]}$ 的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L₁、抛物线L₂上的动点.

（1）求抛物线L₁对应的函数表达式；

（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；

（3）设点R为抛物线L₁上另一个动点，且CA平分∠PCR，若OQ∥PR，求出点Q的坐标.

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33. 如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：

（Ⅰ）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；
（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B'处，如图③，两次折痕交于点O；
（Ⅲ）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．
【探究】

（1）证明：△OBC≌△OED：

（2）若AB＝8，设BC为x，OB²为y，求y关于x的关系式.

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34. 如图所示・二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与一次函数 $\text{[math]}$ 的图像交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0.

（1）求A、B两点的横坐标；

（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；

（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

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35. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，其中点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图①，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，且满足 $\text{[math]}$ .求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（3）如图②，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴下方抛物线上任意一点，点 $\text{[math]}$ 是抛物线对称轴与 $\text{[math]}$ 轴的交点，直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别交抛物线的对称轴于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .请问 $\text{[math]}$ 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

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36. 问题呈现
如图，四边形ABCD是矩形，AB=20，BC=10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G=90°，点M在线段AB上，且AM=a，点P沿折线AD-DG运动，点Q沿折线BC-CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB.设PQ与AB之间的距离为x.

（1）若a=12.
①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为；

②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；

（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围.

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37. 【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )和B( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )，用以下方式定义两点间距离：d(A，B)＝ $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ .

（1）【数学理解】①已知点A(﹣2，1)，则d(O，A)＝；②函数 $\text{[math]}$ (0≤x≤2)的图像如图①所示，B是图像上一点，d(O，B)＝3，则点B的坐标是.

（2）函数 $\text{[math]}$ (x＞0)的图像如图②所示，求证：该函数的图象上不存在点C，使d(O，C)＝3.

（3）函数 $\text{[math]}$ (x≥0)的图像如图③所示，D是图像上一点，求d(O，D)的最小值及对应的点D的坐标.

（4）【问题解决】某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）

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江苏中考数学历年真题分类卷7 函数综合题和压轴题

一、单选题

二、综合题

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