解：①若点

P

在

x

轴下方，如图1，

延长 $A P$ 到 $H$ ，使 $A H = A B$ ，过点 $B$ 作 $B I ⊥ x$ 轴，连接 $B H$ ，作 $B H$ 中点 $G$ ，连接并延长 $A G$ 交 $B I$ 于点 $F$ ，过点 $H$ 作 $H I ⊥ B I$ 于点 $I$ .

∵当 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ ，解得： $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = 1$ .

∴ $B (- 3 ， 0)$ .

∵ $A (1 ， 0)$ ， $C (0 ， - 3)$ ，

∴ $O A = 1$ ， $O C = 3$ ， $A C = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$ ， $A B = 4$ ，

∴ $R t Δ A O C$ 中， $sin ∠ A C O = \frac{O A}{A C} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $cos ∠ A C O = \frac{O C}{A C} = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，

∵ $A B = A H$ ， $G$ 为 $B H$ 中点，

∴ $A G ⊥ B H$ ， $B G = G H$ ，

∴ $∠ B A G = ∠ H A G$ ，即 $∠ P A B = 2 ∠ B A G$ ，

∵ $∠ P A B = 2 ∠ A C O$ ，

∴ $∠ B A G = ∠ A C O$ ，

∴ $R t Δ A B G$ 中， $∠ A G B = 90 °$ ， $sin ∠ B A G = \frac{B G}{A B} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，

∴ $B G = \frac{\sqrt{10}}{10} A B = \frac{2 \sqrt{10}}{5}$ ，

∴ $B H = 2 B G = \frac{4 \sqrt{10}}{5}$ .

∵ $∠ H B I + ∠ A B G = ∠ A B G + ∠ B A G = 90 °$ ，

∴ $∠ H B I = ∠ B A G = ∠ A C O$ ，

∴ $R t Δ B H I$ 中， $∠ B I H = 90 °$ ， $sin ∠ H B I = \frac{H I}{B H} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $cos ∠ H B I = \frac{B I}{B H} = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ .

∴ $H I = \frac{\sqrt{10}}{10} B H = \frac{4}{5}$ ， $B I = \frac{3 \sqrt{10}}{10} B H = \frac{12}{5}$ ，

∴ $x_{H} = - 3 + \frac{4}{5} = - \frac{11}{5}$ ， $y_{H} = - \frac{12}{5}$ ，即 $H (- \frac{11}{5} ， - \frac{12}{5})$ ，

设直线 $A H$ 解析式为 $y = k x + a$ ，

∴ ${\begin{matrix} k + a = 0 \\ - \frac{11}{5} k + a = - \frac{12}{5} \end{matrix}$ ，解得： ${\begin{matrix} k = \frac{3}{4} \\ a = - \frac{3}{4} \end{matrix}$ ，

∴直线 $A H$ ： $y = \frac{3}{4} x - \frac{3}{4}$ .

∵ ${\begin{matrix} y = \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \\ y = x^{2} + 2 x - 3 \end{matrix}$ ，解得： ${\begin{matrix} x_{1} = 1 \\ y_{1} = 0 \end{matrix}$ （即点 $A$ ）， ${\begin{matrix} x_{2} = - \frac{9}{4} \\ y_{2} = - \frac{39}{16} \end{matrix}$ ，

∴ $P (- \frac{9}{4} ， - \frac{39}{16})$ .

②若点 $P$ 在 $x$ 轴上方，如图2，

在 $A P$ 上截取 $A H' = A H$ ，则 $H'$ 与 $H$ 关于 $x$ 轴对称，

∴ $H' (- \frac{11}{5} ， \frac{12}{5})$ ，

设直线 $A H'$ 解析式为 $y = k' x + a'$ ，

∴ ${\begin{matrix} k' + a' = 0 \\ - \frac{11}{5} k' + a' = \frac{12}{5} \end{matrix}$ ，解得： ${\begin{matrix} k' = - \frac{3}{4} \\ a' = \frac{3}{4} \end{matrix}$ ，

∴直线 $A H'$ ： $y = - \frac{3}{4} x + \frac{3}{4}$ .

∵ ${\begin{matrix} y = - \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \\ y = x^{2} + 2 x - 3 \end{matrix}$ ，解得： ${\begin{matrix} x_{1} = 1 \\ y_{1} = 0 \end{matrix}$ （即点 $A$ ）， ${\begin{matrix} x_{2} = - \frac{15}{4} \\ y_{2} = \frac{57}{16} \end{matrix}$ ，

∴ $P (- \frac{15}{4} ， \frac{57}{16})$ .

综上所述，点 $P$ 的坐标为 $(- \frac{9}{4} ， - \frac{39}{16})$ 或 $(- \frac{15}{4} ， \frac{57}{16})$

江苏中考数学历年真题分类卷7 函数综合题和压轴题