湖南省部分学校2021届高三下学期数学联考试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的元素个数为（）

A . 0 B . 3 C . 4 D . 5

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2. 函数 $\text{[math]}$ 的图象在点 $\text{[math]}$ 处的切线斜率为（）

A . -8 B . -7 C . -6 D . -5

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3. $\text{[math]}$ 展开式中的常数项为（）

A . 120 B . 45 C . -120 D . -45

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4. 设函数 $\text{[math]}$ 是定义在R上的偶函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 双十一是指由电子商务为代表的，在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢节.已知某一家具旗舰店近五年双十一的成交额如下表：

年份	2016	2017	2018	2019	2020
时间代号 $\text{[math]}$	1	2	3	4	5
成交额 $\text{[math]}$ （万元）	50	60	70	80	100

若 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归方程为 $\text{[math]}$ ，则根据回归方程预计该店2021年双十一的成交额是（）

A . 84万元 B . 96万元 C . 108万元 D . 120万元

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6. 跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质.小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（）

A . 16天 B . 17天 C . 18天 D . 19天

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7. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，D为侧棱 $\text{[math]}$ 的中点，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，则这两条棱所在直线至少有一条与直线 $\text{[math]}$ 异面的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 为了得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，只需将函数 $\text{[math]}$ 的图象（）

A . 向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度 B . 向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度 C . 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度 D . 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度

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10. 若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小值为10 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值为9

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11. 已知曲线C的方程为 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ ，则（）

A . C表示一条直线 B . 当 $\text{[math]}$ 时，C与圆M有3个公共点 C . 当 $\text{[math]}$ 时，存在圆N ，使得圆N与圆M相切，且圆N与C有4个公共点 D . 当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是 $\text{[math]}$

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12. 如图，函数 $\text{[math]}$ 的图象由一条射线和抛物线的一部分构成， $\text{[math]}$ 的零点为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 有3个零点 B . $\text{[math]}$ 恒成立 C . 函数 $\text{[math]}$ 有4个零点 D . $\text{[math]}$ 恒成立

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13. 写出一个虚数z ，使得 $\text{[math]}$ 为纯虚数，则 $\text{[math]}$ .

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14. 正六角星是我们生活中比较常见的图形，很多吊饰品中就出现了正六角星图案（如图一）.正六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成（如图二）.如图三所示的正六角星的中心为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是该正六角星的顶点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，M为C左支上一点，N为线段 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，P为线段 $\text{[math]}$ 的中点.若 $\text{[math]}$ (O为坐标原点)，则C的渐近线方程为.

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16. 某三棱台的各顶点都在一个半径为6的球面上，其上、下底面分别是边长为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的正三角形，则该三棱台的体积为.
附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为台上下底面的面积， $\text{[math]}$ 为棱台的高.

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17. 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .

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18. 扶贫期间，扶贫工作组从 $\text{[math]}$ 地到 $\text{[math]}$ 地修建了公路，脱贫后，为了了解 $\text{[math]}$ 地到 $\text{[math]}$ 地公路的交通通行状况，工作组调查了从 $\text{[math]}$ 地到 $\text{[math]}$ 地行经该公路的各种类别的机动车共4000辆，汇总行车速度后作出如图所示的频率分布直方图.

（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这4000辆机动车的平均车速（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）.

（2）由频率分布直方图可大致认为，该公路上机动车的行车速度 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别取调查样本中4000辆机动车的平均车速和车速的方差 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）.
（ⅰ）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于84.8千米/时的车辆数（精确到个位）；

（ⅱ）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于84.8千米/时的车辆数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的数学期望.

附：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ .

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19. 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ．.

（1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（2）在下列两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按第一个解答计分.
①设 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

②设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ .

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20. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆O(O为圆心)过点A ，且 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，M为 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

（2）若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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22. 已知F为抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，直线 $\text{[math]}$ 与C交于A ， B两点且 $\text{[math]}$ .

（1）求C的方程.

（2）若直线 $\text{[math]}$ 与C交于M ， N两点，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点T ，证明：点T在定直线上.

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湖南省部分学校2021届高三下学期数学联考试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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