浙教版数学八上第3章一元一次不等式优生综合题特训

修改时间：2021-11-16 浏览次数：144 类型：复习试卷编辑

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一、综合题

1. 阅读材料：基本不等式 $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ 时，等号成立.其中我们把 $\text{[math]}$ 叫做正数a、b的算术平均数， $\text{[math]}$ 叫做正数a、b的几何平均数，它是解决最大 $\text{[math]}$ 小 $\text{[math]}$ 值问题的有力工具.
例如：在 $\text{[math]}$ 的条件下，当x为何值时， $\text{[math]}$ 有最小值，最小值是多少？

解 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ，即是 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ，

当且仅当 $\text{[math]}$ 时，即 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有最小值，最小值为2.

请根据阅读材料解答下列问题：

（1）若 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ，当x为何值时，函数有最值，并求出其最值，

（2）当 $\text{[math]}$ 时，式子 $\text{[math]}$ 成立吗？请说明理由.

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2. 阅读材料：
基本不等式 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.

例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+ $\text{[math]}$ 有最小值，最小值是多少？

解：∵x＞0， $\text{[math]}$ ＞0∴ $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ≥2

当且仅当x＝ $\text{[math]}$ ，即x＝1时，x+ $\text{[math]}$ 有最小值，最小值为2.

请根据阅读材料解答下列问题：

（1）已知x＞0，则当x为时，代数式3x+ $\text{[math]}$ 的最小值为；

（2）已知a＞0，b＞0，a²+b²=7，则ab的最大值为

（3）已知矩形面积为9，求矩形周长的最小值.

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3. 已知 $\text{[math]}$ ，其中a，b，c是常数，且 $\text{[math]}$ .

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求a的范围.

（2）当 $\text{[math]}$ 时，比较b和c的大小.

（3）若当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 成立，则 $\text{[math]}$ 的值是多少？

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4. 阅读理解：我们知道，比较两数（式）大小有很多方法，“作差法”是常用的方法之一，其原理是不等式（或等式）的性质：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .
例：已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

证明： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ .

（1）操作感知：比较大小：
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

（2）类比探究：已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试运用上述方法比较 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的大小，并说明理由.

（3）应用拓展：已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为平面直角坐标系中的两点，小明认为，无论 $\text{[math]}$ 取何值，点 $\text{[math]}$ 始终在点 $\text{[math]}$ 的上方，小明的猜想对吗？为什么？

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5.
把多边形的某些边向两方延长，其他各边若不全在延长所得直线的同侧，则把这样的多边形叫做凹多边形.如图①五边形 $\text{[math]}$ 中，作直线 $\text{[math]}$ ，则边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在直线 $\text{[math]}$ 的两侧，所以五边形 $\text{[math]}$ 就是一个凹五边形.我们简单研究凹多边形的边和角的性质.

（1）如图②，在凹六边形 $\text{[math]}$ 中，探索 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、之间的关系；

（2）如图③，在凹四边形 $\text{[math]}$ 中，证明 $\text{[math]}$ ．

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6. 阅读下面的文字，解答问题．
大家知道 $\text{[math]}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\text{[math]}$ 的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于1＜ $\text{[math]}$ ＜2，所以 $\text{[math]}$ 的整数部分为1，将 $\text{[math]}$ 减去其整数部分1，差就是小数部分 $\text{[math]}$ ﹣1，根据以上的内容，解答下面的问题：

（1） $\text{[math]}$ 的整数部分是，小数部分是；

（2） 1+ $\text{[math]}$ 的整数部分是，小数部分是；

（3）若设2+ $\text{[math]}$ 整数部分是x，小数部分是y，求x﹣ $\text{[math]}$ y的值．

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7. 设一次函数y=kx+b-3（k，b是常数，且k≠0）。

（1）该函数的图象过点（-1，2），试判断点P（4，5k+2）是否也在此函数的图象上，并说明理由。

（2）已知点A（a，y₁）和点B（a-2，y₁+2）都在该一次函数的图象上，求k的值。

（3）若k+b＜0，点Q（5，m）（m＞0）在该一次函数上，求证：k＞ $\text{[math]}$ 。

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8. 班级书法小组购买“文房四宝”的数据如下，有部分数据因污损无法识别.

商品名	单价（元）	数量（件）	金额（元）
笔	20
墨		15	210
纸	24
砚	60	2
合计		43	922

（1）此次购买的笔和纸各多少件？

（2）若再次购买墨和砚共10件，且总价不超过370元，最多购买砚多少件？

（3）若用420元购买墨和纸，在420元恰好用完的条件下，有哪些购买方案？

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9. 某加工厂用52500元购进A、B两种原料共40吨，其中原料A每吨1500元，原料B每吨1000元.由于原料容易变质，该加工厂需尽快将这批原料运往有保质条件的仓库储存.经市场调查获得以下信息：
①将原料运往仓库有公路运输与铁路运输两种方式可供选择，其中公路全程120千米，铁路全程150千米；

②两种运输方式的运输单价不同（单价：每吨每千米所收的运输费）；

③公路运输时，每吨每千米还需加收1元的燃油附加费；

④运输还需支付原料装卸费：公路运输时，每吨装卸费100元；铁路运输时，每吨装卸费220元.

（1）加工厂购进A、B两种原料各多少吨？

（2）由于每种运输方式的运输能力有限，都无法单独承担这批原料的运输任务.加工厂为了尽快将这批原料运往仓库，决定将A原料选一种方式运输，B原料用另一种方式运输，哪种方案运输总花费较少？请说明理由.

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10. 定义：对任意一个两位数 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”.将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为 $\text{[math]}$ .
例如： $\text{[math]}$ ，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为 $\text{[math]}$ ，和与11的商为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ .根据以上定义，回答下列问题：

（1）填空：
①下列两位数：50，63，77中，“迥异数”为；

②计算： $\text{[math]}$ .

（2）如果一个“迥异数” $\text{[math]}$ 的十位数字是 $\text{[math]}$ ，个位数字是 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，请求出“迥异数” $\text{[math]}$ .

（3）如果一个“迥异数” $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，请求出满足条件的 $\text{[math]}$ 的值.

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11. 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按80%收费；在乙商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费.设小华在同一商场累计购物x元，其中x＞200.

小华累计购物（单位：元）	250	390	…	x
甲商场实际收费（单位：元）	240	a	…	m
乙商场实际收费（单位：元）	235	b	…	n

（1）根据题意及表中提供的信息填空：a=，b=；m=，n=；

（2）当x取何值时，甲、乙两商场的实际收费相同？

（3）当小华在同一商场累计购物超过200元时，哪家商场的实际收费少，为什么？

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12. 阅读材料：基本不等式 $\text{[math]}$ 当且仅当a=b时，等号成立，其中我们把 $\text{[math]}$ 叫做正数a，b的算术平均数， $\text{[math]}$ 叫做正数a，b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具，例如：在x＞0的条件下，当x为何值时， $\text{[math]}$ 有最小值？最小值是多少？
解：∵x＞0， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ 时，即x=1时，有 $\text{[math]}$ 有最小值为2.

请根据阅读材料解答下列问题：

（1）填空：当 $\text{[math]}$ >0时，设 $\text{[math]}$ ，则当且仅当 $\text{[math]}$ =时，y有最值为；

（2）若 $\text{[math]}$ ＞0，函数 $\text{[math]}$ ，当x为何值时，函数有最值？并求出其最值；

（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的面积等于8，求△ABC周长的最小值.

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13. 居家学习期间，小明坚持每天做运动．已知某两组运动都由波比跳和深蹲组成，每个波比跳耗时5秒，每个深蹲也耗时5秒．运动软件显示，完成第一组运动，其中做了20个波比跳，40个深蹲，共消耗热量132大卡（大卡是热量单位）；完成第二组运动，其中做了20个波比跳，70个深蹲，共消耗热量156大卡；（每个动作之间的衔接时间忽略不计）．

（1）每个波比跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？

（2）若小明想只做波比跳和深蹲两个动作，花10分钟，消耗至少200大卡，小明至少要做多少个波比跳？

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14. 阅读下面材料：
小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：

如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式 $\text{[math]}$ 的解集．

小明同学的思路如下：

先根据绝对值的定义，求出 $\text{[math]}$ 恰好是 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 的值，并在数轴上表示为点 $\text{[math]}$ ，如图所示．观察数轴发现，以点 $\text{[math]}$ 为分界点把数轴分为三部分：

点 $\text{[math]}$ 左边的点表示的数的绝对值大于 $\text{[math]}$ ；

点 $\text{[math]}$ 之间的点表示的数的绝对值小于 $\text{[math]}$ ；

点 $\text{[math]}$ 右边的点表示的数的绝对值大于 $\text{[math]}$ ．

因此，小明得出结论绝对值不等式 $\text{[math]}$ 的解集为： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．

参照小明的思路，解决下列问题：

（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集．
① $\text{[math]}$ 的解集是．

② $\text{[math]}$ 的解集是．

（2）求绝对值不等式 $\text{[math]}$ 的解集．

（3）如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于 $\text{[math]}$ 的不等式组 $\text{[math]}$ 的解，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

（4）直接写出不等式 $\text{[math]}$ 的解集是．

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15. 某经销商去年 $\text{[math]}$ 月份用 $\text{[math]}$ 元购进一批某种儿童玩具，并在当月售完，今年 $\text{[math]}$ 月份用 $\text{[math]}$ 元购进相同的玩具，数量是去年 $\text{[math]}$ 月份的 $\text{[math]}$ 倍，每个进价涨了 $\text{[math]}$ 元．

（1）今年 $\text{[math]}$ 月份购进这批玩具多少个？

（2）今年 $\text{[math]}$ 月份，经销商将这批玩具平均分给甲、乙两家分店销售，每个标价 $\text{[math]}$ 元．甲店按标价卖出a个以后，剩余的按标价的八折全部售出；乙店同样按标价卖出b个，剩余的按标价的七五折全部售出，结果利润与甲店相同．
①用含a的式子表示b；

②若甲、乙两家分店按打折售出的数量不超过乙店按标价售出的数量，则甲店按标价至少售出了多少个这种玩具？

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16. 军运会前某项工程要求限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期4天，现两队合作3天后，余下的工程再由乙队独做，比限期提前一天完成.

（1）请问该工程限期是多少天？

（2）已知甲队每天的施工费用为1000元，乙队每天的施工费用为800元，要使该项工程的总费用不超过7000元，乙队最多施工多少天？

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17. 深化理解：
新定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为 $\text{[math]}$ ，

即：当n为非负整数时，如果 $\text{[math]}$ ；

反之，当n为非负整数时，如果 $\text{[math]}$

例如：<0> = <0.48> = 0，<0.64> = <1.49> = 1，<2> = 2，<3.5> = <4.12> = 4，……

试解决下列问题：

（1）填空：① =（为圆周率）； ②如果 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

（2）若关于x的不等式组 $\text{[math]}$ 的整数解恰有3个，求a的取值范围.

（3）求满足 $\text{[math]}$ 的所有非负实数x的值.

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18. 端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．

（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？

（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？

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19. 某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.

（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？

（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于 $\text{[math]}$ ，那么每套
售价至少是多少元？

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20. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 $\text{[math]}$ 个，或制盒底 $\text{[math]}$ 个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有 $\text{[math]}$ 张白铁皮.

（1）问用多少张制盒身、多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套；

（2）已知一张白铁皮的成本为 $\text{[math]}$ 元，每张制作盒底的加工费为 $\text{[math]}$ 元 $\text{[math]}$ 张，而制作盒身的加工方式有横切和纵切两种，横切的加工费为 $\text{[math]}$ 元 $\text{[math]}$ 张，纵切的加工费为 $\text{[math]}$ 元 $\text{[math]}$ 张，受工艺限制，白铁皮横切的张数不超过纵切的 $\text{[math]}$ ，问在（1）结论下，应安排多少张横切多少张纵切才能使总费用最少，此时最少费用是多少.

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21. 现计划把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地.已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，如果每辆A型货车最多可装甲种货物7吨和乙种货物3吨，每辆B型货车最多可装甲种货物5吨和乙种货物7吨.

（1）装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案？

（2）使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元.在上述方案中，哪个方案运费最省？最省的运费是多少元？

（3）在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元.每辆B型车奖金为n元，38＜m＜n.且m、n均为整数，求此次奖金发放的具体方案.

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22. 红星商场购进A，B两种型号空调，A型空调每台进价为m元，B型空调每台进价为n元，5月份购进5台A型空调和7台B型空调共43000元；6月份购进7台A型空调和6台B型空调共45000元.

（1）求m，n的值；

（2） 7月份该商场计划购进这两种型号空调共78000元，其中B型空调的数量不少于12台，试问有哪几种进货方案？

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23. 某商场计划采购 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两种商品共 $\text{[math]}$ 件，已知购进 $\text{[math]}$ 件A商品和 $\text{[math]}$ 件 $\text{[math]}$ 商品需要 $\text{[math]}$ 元，购进 $\text{[math]}$ 件 $\text{[math]}$ 商品和 $\text{[math]}$ 件 $\text{[math]}$ 商品需要 $\text{[math]}$ 元.

（1）求 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两种商品每件的进价分别为多少元？

（2）若采购费用不低于 $\text{[math]}$ 元，不高于 $\text{[math]}$ 元，请求出该商场有几种采购方案？

（3）在（2）的条件下， $\text{[math]}$ 商品每件加价 $\text{[math]}$ 元销售， $\text{[math]}$ 商品每件加价 $\text{[math]}$ 元销售， $\text{[math]}$ 件商品全部售出的最大利润为 $\text{[math]}$ 元，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

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