2016-2017学年北京三十一中九年级上学期期中数学试卷

1. 二次函数y=（x﹣5）²+7的最小值是（）

A . ﹣7 B . 7 C . ﹣5 D . 5

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2. 下图形中，是中心对称图形的是（）

A . B . C . D .

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3. 下列语句中错误的是（）

A . 三点确定一个圆 B . 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧 C . 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 D . 三角形的内心是三角形内角平分线的交点

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4. 如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（）

A . M（1，﹣3），N（﹣1，﹣3） B . M（﹣1，﹣3），N（﹣1，3） C . M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3） D . M（﹣1，3），N（1，﹣3）

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5. 若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12π cm，则此扇形的圆心角等于（　　）

A . 30° B . 60° C . 90° D . 120°

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6. 将抛物线y=x²平移得到抛物线y=x²+5，下列叙述正确的是（）

A . 向上平移5个单位 B . 向下平移5个单位 C . 向左平移5个单位 D . 向右平移5个单位

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7. 某汽车销售公司2013年盈利1500万元，2015年盈利2160万元，且从2013年到2015年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（）

A . 1500（1+x）+1500（1+x）²=2160 B . 1500x+1500x²=2160 C . 1500x²=2160 D . 1500（1+x）²=2160

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8. 如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=6，则OC的长为（）

A . 12 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是 $\text{[math]}$ 的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为（）

A . 30° B . 45° C . 50° D . 70°

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10. 二次函数y=2x²﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（　　）

A . 8 B . ﹣10 C . ﹣42 D . ﹣24

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11. 写出一个二次函数y=2x²的图象性质（一条即可）．

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12. 如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，则∠ACA′的度数是．

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13. 点A（﹣3，y₁），B（2，y₂）在抛物线y=x²﹣5x上，则y₁ y₂ ．（填“＞”，“＜”或“=”）

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14. 圆内接正六边形的边长是8cm，则该正六边形的半径为

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15. 二次函数y=x²﹣4x+m图象的顶点在x轴上，则m=．

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16. 阅读下面材料：
在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：
$\text{[math]}$
小敏的作法如下：
如图，
①链接op，做线段op的垂直平分线MN，交OP于点C
②以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A、B两点
③作直线PA、PB所以直线PA，PB就是所求的切线
老师认为小敏的作法正确．
请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是

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17. 如图，△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB₁C₁ ．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB₁C₁ ，并直接写出点B₁的坐标：
B₁（，）；
C₁（，）．

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18. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．

（1）再次阅读后，发现AB=寸，CD=寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件．

（2）帮助小智求出⊙O的直径．

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19. 已知二次函数 y=x²﹣6x+5．

（1）将y=x²﹣6x+5化成y=a（x﹣h）²+k的形式；

（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；

（3）当y＞0时，求x的范围．

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20. 已知抛物线y=x²﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．

（1）求A，B两点的坐标和此抛物线的对称轴；

（2）设此抛物线的顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD的面积．

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21. 某商场将进价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．

（1）请写出每月售出书包的利润y元与每个书包涨价x元间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）如何定价才能获得最大利润，最大利润是多少？

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22. △ABC的三个顶点在⊙O上，AD⊥BC，D为垂足，E是 $\text{[math]}$ 的中点，求证：∠1=∠2（提示：可以延长AO交⊙O于F，连接BF）．

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23. 如图，AB是⊙O的一条弦，且AB= $\text{[math]}$ ．点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB于点D，∠E=30°，连接OA．

（1）求OA的长；

（2）若AF是⊙O的另一条弦，且点O到AF的距离为 $\text{[math]}$ ，直接写出∠BAF的度数．

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24. 已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；

（3）写出求图中阴影部分的面积的思路．（不求计算结果）

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25. 已知：抛物线y=x²+（2m﹣1）x+m²﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．

（1）求抛物线的解析式；

（2）结合图象写出，0＜x＜4时，直接写出y的取值范围；

（3）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．当BC=1时，求出矩形ABCD的周长．

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26. 阅读下面材料：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y₁=ax+b与双曲线y₂= $\text{[math]}$ 交于A（1，3）和B（﹣3，﹣1）两点．

观察图象可知：

①当x=﹣3或1时，y₁=y₂；

②当﹣3＜x＜0或x＞1时，y₁＞y₂ ，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b＞ $\text{[math]}$ 的解集．

有这样一个问题：求不等式x³+4x²﹣x﹣4＞0的解集．

某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x³+4x²﹣x﹣4＞0的解集进行了探究．

下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：

（1） ①将不等式按条件进行转化：
当x=0时，原不等式不成立；

当x＞0时，原不等式可以转化为x²+4x﹣1＞ $\text{[math]}$ ；

当x＜0时，原不等式可以转化为x²+4x﹣1＜ $\text{[math]}$ ；

②构造函数，画出图象

设y₃=x²+4x﹣1，y₄= $\text{[math]}$ ，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．

双曲线y₄= $\text{[math]}$ 如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y₃=x²+4x﹣1；（不用列表）

（2）确定两个函数图象公共点的横坐标
观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y₃=y₄的所有x的值为

（3）借助图象，写出解集
结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x³+4x²﹣x﹣4＞0的解集为．

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27. 在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连结EC．如果AB=AC，∠BAC=90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，请你判断线段CE、BD之间的位置和数量关系（直接写出结论）；
②当点D在线段BC的延长线上时，请你在图2画出图形，判断①中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．

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28.
如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣ $\text{[math]}$ +bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣ $\text{[math]}$ +bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．

（1）求二次函数y=﹣ $\text{[math]}$ +bx+c的表达式；

（2）连接AB，求AB的长；

（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．

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29. 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离S_P的定义如下：若点P与圆心O重合，则S_P为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则S_P为线段AP的长度．
图1为点P在⊙O外的情形示意图．

（1）若点B（1，0），C（1，1）， $\text{[math]}$ ，则S_B=；S_C=；S_D=；

（2）若直线y=x+b上存在点M，使得S_M=2，求b的取值范围；

（3）已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点．若线段PQ上存在一点T，满足T在⊙O内且S_T≥S_R ，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值．

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2016-2017学年北京三十一中九年级上学期期中数学试卷

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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