专题28 平面向量的概念及线性运算-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

1. 已知向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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3. 已知 $\text{[math]}$ 的外接圆圆心为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 4 D . $\text{[math]}$

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5. 下列说法不正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的方向相同或者相反 B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为非零向量，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线 C . 若 $\text{[math]}$ ，则存在唯一的实数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 是两个单位向量，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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6. 有关平面向量的说法，下列错误的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线且模长相等，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 方向相同，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 恒成立

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7. 已知 $\text{[math]}$ 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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8. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的三个内角， $\text{[math]}$ 的外心为 $\text{[math]}$ ，内心为 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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9. 如图，在平行四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， E是边BC的中点，F是CD上靠近D的三等分点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4 B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 若平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 取得最小值，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ 内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的重心， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的面积的最大值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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12. 已知等边 $\text{[math]}$ 的边长为4，点D ， E满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与CD交于点 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. 已知正六边形ABCDEF边长为2，MN是正六边形ABCDEF的外接圆的一条动弦， $\text{[math]}$ ， P为正六边形ABCDEF边上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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14. 如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A ， B）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 的最大值为．

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15. 已知向量 $\text{[math]}$ 是平面上两个不共线的单位向量，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 三点共线 B . $\text{[math]}$ 三点共线 C . $\text{[math]}$ 三点共线 D . $\text{[math]}$ 三点共线

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16. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点，点 $\text{[math]}$ 分别在双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右两支上，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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17. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点且满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为正实数，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值为1 B . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最大值为12 D . $\text{[math]}$ 的最小值为4

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18. 已知在等边△ $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 占 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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19. 设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的外心，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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20. 设平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不能组成平面上的一个基底，则 $\text{[math]}$ ．

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21. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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22. 已知等边 $\text{[math]}$ 的边长为1，点 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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23. 在梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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24. 在梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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25. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为非零向量，下列说法正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量相等 D . 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则点A ， B ， D一定共线

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26. 如图， $\text{[math]}$ 是正六边形 $\text{[math]}$ 的中心，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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27. 如图，在 $\text{[math]}$ 方格中，向量 $\text{[math]}$ 的始点和终点均为小正方形的顶点，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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28. 在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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29. 若平面四边形 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该四边形一定是.

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30. 已知圆 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线l交圆C于A ， B两点，点P在圆C上，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 。

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31. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1） $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的中线，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．

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32. 在 $\text{[math]}$ 中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．

（1）分别用向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2）若点N满足 $\text{[math]}$ ，证明：B ， N ， E三点共线．

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33. 已知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为两个不共线的单位向量，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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34. 如图所示，在正六边形 $\text{[math]}$ 中，下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为 $\text{[math]}$

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35. 在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是四边形 $\text{[math]}$ 所在平面上一点，满足 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ 分别为四边形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积，则 $\text{[math]}$ .

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36. 如图，D为 $\text{[math]}$ 内部一点， $\text{[math]}$ 于E ， $\text{[math]}$ .请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立.① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ .

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37. 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若对于任意实数x ，都有 $\text{[math]}$ 成立，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 2 B . 4 C . 6 D . 8

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38. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．以下命题正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则M为 $\text{[math]}$ 的重心 B . 若M为 $\text{[math]}$ 的内心，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， M为 $\text{[math]}$ 的外心，则 $\text{[math]}$ D . 若M为 $\text{[math]}$ 的垂心， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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39. 如图所示，已知 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 所在平面内一点.定义点集 $\text{[math]}$ .若存在点 $\text{[math]}$ ，使得对任意 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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专题28 平面向量的概念及线性运算-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

一、单选题

二、填空题

三、单选题

四、多选题

五、填空题

六、单选题

七、多选题

八、填空题

九、单选题

十、多选题

十一、填空题

十二、单选题

十三、多选题

十四、填空题

十五、解答题

十六、单选题

十七、多选题

十八、填空题

十九、解答题

二十一、单选题

二十二、多选题

二十三、填空题

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一、单选题

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