2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：二次函数（4）

修改时间：2023-07-27 浏览次数：73 类型：二轮复习编辑

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一、选择题

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 时，函数的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 0 D . 2

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2. 抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴的一个交点为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

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3. 抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 一定经过（）．

A . 第一、二象限 B . 第二、三象限 C . 第三、四象限 D . 第一、四象限

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4. 已知二次函数 $\text{[math]}$ （a为常数，且 $\text{[math]}$ ），下列结论：
①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当 $\text{[math]}$ 时，y随x的增大而减小；④当 $\text{[math]}$ 时，y随x的增大而增大．
其中所有正确结论的序号是（）

A . ①② B . ②③ C . ② D . ③④

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5. 如图所示，二次函数 $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．有下列结论：① $\text{[math]}$ ；②若点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均在抛物线上，则 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．其中正确的有（　　）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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6. 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴的一个交点坐标为 $\text{[math]}$ ，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，下列四个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；其中正确结论的个数为（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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7. 已知点 $\text{[math]}$ 在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（）

A . B . C . D .

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8. 已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴的一个交点坐标为 $\text{[math]}$ ，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，下列论中：① $\text{[math]}$ ；②若点 $\text{[math]}$ 均在该二次函数图象上，则 $\text{[math]}$ ；③若m为任意实数，则 $\text{[math]}$ ；④方程 $\text{[math]}$ 的两实数根为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．正确结论的序号为（）

A . ①②③ B . ①③④ C . ②③④ D . ①④

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9. 如图，要围一个矩形菜园 $\text{[math]}$ ，共中一边 $\text{[math]}$ 是墙，且 $\text{[math]}$ 的长不能超过 $\text{[math]}$ ，其余的三边 $\text{[math]}$ 用篱笆，且这三边的和为 $\text{[math]}$ ．有下列结论：
① $\text{[math]}$ 的长可以为 $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ 的长有两个不同的值满足菜园 $\text{[math]}$ 面积为 $\text{[math]}$ ；
③菜园 $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ ．
其中，正确结论的个数是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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10. 抛物线 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ．下列说法：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ （t为全体实数）；④若图象上存在点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，满足 $\text{[math]}$ ，则m的取值范围为 $\text{[math]}$ ．其中正确的个数有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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二、填空题

11. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 $\text{[math]}$ ，则铅球推出的距离 $\text{[math]}$ m．

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12. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，一个图形上的点都在一边平行于 $\text{[math]}$ 轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：如图，函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形 $\text{[math]}$ .若二次函数 $\text{[math]}$ 图象的关联矩形恰好也是矩形 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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三、综合题

13. 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）以、飞行高度 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）随飞行时间 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）变化的数据如下表．

飞行时间 $\text{[math]}$	2	4	6	8	…
飞行水平距离 $\text{[math]}$	10	20	30	40	…
飞行高度 $\text{[math]}$	22	40	54	64	…

探究发现： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式和 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．

问题解决：如图，活动小组在水平安全线上 $\text{[math]}$ 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．

（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；

（2）在安全线上设置回收区域 $\text{[math]}$ ．若飞机落到 $\text{[math]}$ 内（不包括端点 $\text{[math]}$ ），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．

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14. 设二次函数 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是实数）．已知函数值 $\text{[math]}$ 和自变量 $\text{[math]}$ 的部分对应取值如下表所示：

$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	0	1	2	3	…
$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	1	$\text{[math]}$	1	$\text{[math]}$	…

（1）若 $\text{[math]}$ ，求二次函数的表达式；

（2）写出一个符合条件的 $\text{[math]}$ 的取值范围，使得 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而减小．

（3）若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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15. 抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左边），交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．

（1）直接写出 $\text{[math]}$ 三点的坐标；

（2）如图（1），作直线 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 轴，线段 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 三点，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）如图（2），将抛物线 $\text{[math]}$ 平移得到抛物线 $\text{[math]}$ ，其顶点为原点．直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，过 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ （异于直线 $\text{[math]}$ ）交抛物线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．问点 $\text{[math]}$ 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．

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16. 如图，已知 $\text{[math]}$ ．点E位于第二象限且在直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）直接判断 $\text{[math]}$ 的形状： $\text{[math]}$ 是三角形；

（2）求证： $\text{[math]}$ ；

（3）直线EA交x轴于点 $\text{[math]}$ ．将经过B，C两点的抛物线 $\text{[math]}$ 向左平移2个单位，得到抛物线 $\text{[math]}$ ．
①若直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 有唯一交点，求t的值；

②若抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点P在直线 $\text{[math]}$ 上，求t的值；

③将抛物线 $\text{[math]}$ 再向下平移， $\text{[math]}$ 个单位，得到抛物线 $\text{[math]}$ ．若点D在抛物线 $\text{[math]}$ 上，求点D的坐标．

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17.

（1）【建立模型】如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；

（2）【类比迁移】如图 $\text{[math]}$ ，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 、与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ 、直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．
①求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
②求直线 $\text{[math]}$ 的解析式；

（3）【拓展延伸】如图 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 点，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的横坐标．

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18. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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19. 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点B，与y轴交于点C，连接 $\text{[math]}$ ，过B、C两点作直线．

（1）求a的值．

（2）将直线 $\text{[math]}$ 向下平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，交抛物线于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点．在直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线 $\text{[math]}$ 的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）抛物线上是否存在点P，使 $\text{[math]}$ ，若存在，请求出直线 $\text{[math]}$ 的解析式；若不存在，请说明理由．

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20. 如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；

（2）点 $\text{[math]}$ 为第三象限内抛物线上一点，作直线 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（3）设直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求证：无论 $\text{[math]}$ 为何值，平行于 $\text{[math]}$ 轴的直线 $\text{[math]}$ 上总存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为直角．

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21. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．抛物线的对称轴 $\text{[math]}$ 与经过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求直线 $\text{[math]}$ 及抛物线的表达式；

（2）在抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以点 $\text{[math]}$ 为圆心，画半径为2的圆，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一个动点，请求出 $\text{[math]}$ 的最小值．

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22. 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上．点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿线段 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，运动到点 $\text{[math]}$ 时停止．

（1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，请在图1中过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．

（3）如图2，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 开始运动时，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 同时出发，以与点 $\text{[math]}$ 相同的速度沿 $\text{[math]}$ 轴正方向匀速运动，点 $\text{[math]}$ 停止运动时点 $\text{[math]}$ 也停止运动．连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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23. 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ （点A在点 $\text{[math]}$ 的左侧），直线 $\text{[math]}$ 是对称轴．点 $\text{[math]}$ 在函数图象上，其横坐标大于4，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心，作半径为 $\text{[math]}$ 的圆， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切，切点为 $\text{[math]}$ ．

（1）求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）若以 $\text{[math]}$ 的切线长 $\text{[math]}$ 为边长的正方形的面积与 $\text{[math]}$ 的面积相等，且 $\text{[math]}$ 不经过点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 长的取值范围．

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24. 已知抛物线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，抛物线上的点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ．
①求点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的坐标；
②当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）若点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

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25. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点A在y轴正半轴上．

（1）如果四个点 $\text{[math]}$ 中恰有三个点在二次函数 $\text{[math]}$ （a为常数，且 $\text{[math]}$ ）的图象上．
① $\text{[math]}$ ▲ ；
②如图1，已知菱形 $\text{[math]}$ 的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且 $\text{[math]}$ 轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形 $\text{[math]}$ 的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究 $\text{[math]}$ 是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．

（2）已知正方形 $\text{[math]}$ 的顶点B、D在二次函数 $\text{[math]}$ （a为常数，且 $\text{[math]}$ ）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．

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26. 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，对称轴是直线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上一动点， $\text{[math]}$ 轴，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交抛物线于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求这个二次函数的解析式．

（2）若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动（点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 不重合），求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值，并求出此时点 $\text{[math]}$ 的坐标．

（3）若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上运动，则在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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一、选择题

二、填空题

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