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题型：综合题题类：难易度：困难

江苏省扬州市2023年中考数学试卷

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点A在y轴正半轴上．

（1）、如果四个点 $\text{[math]}$ 中恰有三个点在二次函数 $\text{[math]}$ （a为常数，且 $\text{[math]}$ ）的图象上．

① $\text{[math]}$ ▲ ；

②如图1，已知菱形 $\text{[math]}$ 的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且 $\text{[math]}$ 轴，求菱形的边长；

③如图2，已知正方形 $\text{[math]}$ 的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究 $\text{[math]}$ 是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．

（2）、已知正方形 $\text{[math]}$ 的顶点B、D在二次函数 $\text{[math]}$ （a为常数，且 $\text{[math]}$ ）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．

举一反三

如图，已知抛物线y=ax²+bx+3经过点B（﹣1，0）、C（3，0），交y轴于点A，将线段OB绕点O顺时针旋转90°，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒．

在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax²相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上．

如图，抛物线经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点．

定义：若函数y=x²+bx+c(c≠0)与x轴的交点A，B的横坐标为x_A ， x_B ，与y轴交点的纵坐标为y_C ，若x_A ， x_B中至少存在一个值，满足x_A=y_C(或x_B=y_C)，则称该函数为友好函数如图，函数y=x²+2x-3与x轴的一个交点A的横坐标为-3，与y轴交点C的纵坐标为3，满足x_A=y_C ，称y=x²+2x-3为友好函数。

如图，已知抛物线y＝ $\text{[math]}$ (a $\text{[math]}$ ) 的图象与x轴交于点A和点B（A在B的左侧），与y轴交于点C（0 ， -3），其顶点D（1，-4）.

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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