2017年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷（一）

修改时间：2024-07-12 浏览次数：765 类型：高考模拟编辑

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一、填空题

1. 已知集合A={0，1，2}，则A的子集的个数为．

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2. 设复数z₁=2+ai，z₂=2﹣i（其中a＞0，i为虚数单位），若|z₁|=|z₂|，则a的值为．

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3. 运行如图所示的流程图，则输出的结果S是．

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4. 若直线y= $\text{[math]}$ x+b（e是自然对数的底数）是曲线y=lnx的一条切线，则实数b的值是

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5. 某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．

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6. 已知一组数据x₁ ， x₂ ， …x_n的方差为3，若数据ax₁+b，ax₂+b，…，ax_n+b（a，b∈R）的方差为12，则a的所有的值为．

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7. 我们知道，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1：4，类比该命题得，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为．

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8. 在平面直角坐标系xOy中，设双曲线 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）的焦距为2c（c＞0），当a，b任意变化时， $\text{[math]}$ 的最大值为．

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9. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若方程f（x）=log_a（x+2）（0＜a＜1）有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为．

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10. 设函数f（x）=2x﹣cosx，{a_n}是公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π，则[f（a₃）]²﹣a₁a₅=

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11. 在平面直角坐标系xOy中，若直线l与圆C₁：x²+y²=1和圆C₂：（x﹣5 $\text{[math]}$ ）²+（y﹣5 $\text{[math]}$ ）²=49都相切，且两个圆的圆心均在直线l的下方，则直线l的斜率为．

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12. 设实数n≤6，若不等式2xm+（2﹣x）n﹣8≥0对任意x∈[﹣4，2]都成立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为

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13. 已知角α，β满足 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，若sin（α+β）= $\text{[math]}$ ，则sin（α﹣β）的值为

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14. 将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星．如图所示的正六角星的中心为点O，其中x，y分别为点O到两个顶点的向量．若将点O到正六角星12个顶点的向量都写成ax+by的形式，则a+b的最大值为．

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二、解答题

15. 在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），B（4，3），若A，B，C三点按顺时针方向排列构成等边三角形ABC，且直线BC与x轴交于点D．

（1）求cos∠CAD的值；

（2）求点C的坐标．

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16. 如图，四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，平面A₁ABB₁⊥平面ABCD，且∠ABC= $\text{[math]}$ ．

（1）求证：BC∥平面AB₁C₁；

（2）求证：平面A₁ABB₁⊥平面AB₁C₁ ．

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17. 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的 $\text{[math]}$ 中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．

（1）将y表示成x的函数；

（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 $\text{[math]}$ 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

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18. 已知椭圆C：mx²+3my²=1（m＞0）的长轴长为 $\text{[math]}$ ，O为坐标原点．

（1）求椭圆C的方程和离心率．

（2）设点A（3，0），动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且点P在y轴的右侧．若BA=BP，求四边形OPAB面积的最小值．

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19. 已知函数f（x）=ax³﹣bx²+cx+b﹣a（a＞0）．

（1）设c=0．
①若a=b，曲线y=f（x）在x=x₀处的切线过点（1，0），求x₀的值；
②若a＞b，求f（x）在区间[0，1]上的最大值．

（2）设f（x）在x=x₁ ， x=x₂两处取得极值，求证：f（x₁）=x₁ ， f（x₂）=x₂不同时成立．

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20. 设数列{a_n}和{b_n}的项数均为m，则将数列{a_n}和{b_n}的距离定义为 $\text{[math]}$ |a_i﹣b_i|．

（1）给出数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；

（2）设A为满足递推关系a_n₊₁= $\text{[math]}$ 的所有数列{a_n}的集合，{b_n}和{c_n}为A中的两个元素，且项数均为m，若b₁=2，c₁=3，{b_n}和{c_n}的距离小于2016，求m的最大值；

（3）记S是所有7项数列{a_n|1≤n≤7，a_n=0或1}的集合，T⊆S，且T中任何两个元素的距离大于或等于3，证明：T中的元素个数小于或等于16．

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21. 选修4-1：几何证明选讲
如图，AB和BC分别于圆O相切与点D，C，且AC经过圆心O，AC=2AD，求证：BC=2OD．

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22. 选修4-2：矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），先将正方形ABCD绕原点逆时针旋转90°，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵M．

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23. 选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ （α为参数），现以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．

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24. 选修4-5：不等式选讲
设a，b为互不相等的正实数，求证：4（a³+b³）＞（a+b）³ ．

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25. 集合M={1，2…9}中抽取3个不同的数构成集合{a₁ ， a₂ ， a₃}

（1）对任意i≠j，求满足|a_i﹣a_j|≥2的概率；

（2）若a₁ ， a₂ ， a₃成等差数列，设公差为ξ（ξ＞0），求ξ的分布列及数学期望．

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26. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，通项公式为 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；
（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

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2017年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷（一）

一、填空题

二、解答题

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