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题型：综合题题类：难易度：困难

广东省潮州市金山中学2022-2023学年九年级下学期期末教学质量检测数学试题

如图，在平面直角坐标系中，将一等腰直角三角板 $\text{[math]}$ 放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，其中 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，直角顶点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点Ｂ在抛物线 $\text{[math]}$ 上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

（3）在抛物线上是否还存在点 $\text{[math]}$ （点B除外），使 $\text{[math]}$ 仍然是以 $\text{[math]}$ 为直角边的等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

举一反三

如图，一张正市形纸板的边长为 $\text{[math]}$ ，将它剪去 4 个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．

平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，顶点 $\text{[math]}$ 不在第一象限，线段 $\text{[math]}$ 上有一点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ；

（2）求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（3）若直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 的另一个交点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 时的取值范围（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）．

如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，在抛物线上有一动点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= $\text{[math]}$ x²﹣ $\text{[math]}$ x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；

（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的右边）抛物线顶点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），C是 $\text{[math]}$ 的中点，平行四边形 $\text{[math]}$ 的顶点D，E均在抛物线上．

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