湖南省常德市沅澧共同体2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

修改时间：2025-03-10 浏览次数：2 类型：期中考试编辑

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的共轭复数的虚部为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该平面图形的高为（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 在锐角 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 孤峰塔坐落在与常德城隔江相望的德山孤峰岭．初名“文峰塔”，与北岸笔架城遥相映衬，象征常德人杰地灵，文运昌盛．常德立德中学高一学生为了测量塔高 $\text{[math]}$ ，选取与塔底 $\text{[math]}$ 在同一水平面内的两个测量基点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ．现测量得 $\text{[math]}$ 米，在点 $\text{[math]}$ 处测得塔顶 $\text{[math]}$ 的仰角分别为 $\text{[math]}$ ，则孤峰塔高 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ 米 B . $\text{[math]}$ 米 C . $\text{[math]}$ 米 D . $\text{[math]}$ 米

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6. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是 $\text{[math]}$ 的前提下，我们可以把 $\text{[math]}$ 看作是经过365天的“进步值”， $\text{[math]}$ 看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A . 100 B . 230 C . 130 D . 365

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7. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的形状为（）

A . 等腰直角三角形 B . 三边均不相等的三角形 C . 等边三角形 D . 等腰（非直角）三角形

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8. 如图，直线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的一个定点，点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一个动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动（包括端点）且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）

9. 下列说法正确的是（）

A . 空间四个点中，三点共线是这四个点共面的充分不必要条件 B . 在复数集 $\text{[math]}$ 中，方程 $\text{[math]}$ 有两个解，依次为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为平面， $\text{[math]}$ 为点） D . $\text{[math]}$ ，二次函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 为偶函数

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10. 函数 $\text{[math]}$ 在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 C . $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后得到的函数是奇函数 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的零点有4个

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11. 如图，已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是共面直线 B . 如果正方体的所有顶点在一个球面上，则这个球的体积为 $\text{[math]}$ C . 过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点作一个截面，截得的几何体 $\text{[math]}$ 的体积 $\text{[math]}$ D . 若在 $\text{[math]}$ 上存在一点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 最小，最小值为 $\text{[math]}$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）

12. 角 $\text{[math]}$ 的终边上有一点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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13. 圆锥的侧面展开图是半径为 $\text{[math]}$ 的半圆，则该圆锥的体积为.

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14. 已知在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内心， $\text{[math]}$ 为与 $\text{[math]}$ 同向的单位向量，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（用 $\text{[math]}$ 表示）

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四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15. 已知 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ ；

（2）当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直?

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16. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．

（1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .

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17. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为 $\text{[math]}$ 的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到.

（1）求石凳的体积与原正四面体的体积之比；

（2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（ $\text{[math]}$ ）

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18. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的最小正周期；

（2）若 $\text{[math]}$ 是锐角，且 $\text{[math]}$ ，求角 $\text{[math]}$ 的正弦值；

（3）在锐角 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 周长的取值范围．

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19. 对于函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如果存在实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，那么称函数 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“重组函数”

（1）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，是否存在实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的重组函数？若存在，求出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；若不存在，试说明理由．

（2）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的重组函数 $\text{[math]}$ 的值域．

（3）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的重组函数 $\text{[math]}$ 有唯一的零点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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湖南省常德市沅澧共同体2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）

四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

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