湖南省历年（2020-2024）中考数学真题压轴解答题汇编（3）

修改时间：2025-03-10 浏览次数：4 类型：二轮复习编辑

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一、综合题

1. 如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 和点B，与y轴交于点C．

（1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式；

（2）如图2，将抛物线 $\text{[math]}$ 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线 $\text{[math]}$ ，若抛物线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 相交于点D，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
①求点D的坐标；

②判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，抛物线 $\text{[math]}$ 上是否存在点P，使得 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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2. 如图所示，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．

（1）求点C及顶点M的坐标．

（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 面积的最大值及此时点N的坐标．

（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．

（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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3. 已知直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ （b，c为常数， $\text{[math]}$ ）的一个交点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是x轴正半轴上的动点．

（1）当直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ （b，c为常数， $\text{[math]}$ ）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；

（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当 $\text{[math]}$ 时，求m的值；

（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的最小值多 $\text{[math]}$ 时，求b的值．

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4. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于 $\text{[math]}$ 两点，交y轴于点C ．直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴l与直线 $\text{[math]}$ 相交于点P ，连接 $\text{[math]}$ ，判定 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；

（3）在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点M ，使 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的夹角等于 $\text{[math]}$ 的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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5. 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：

（1）如图1，正方形 $\text{[math]}$ 中，E是 $\text{[math]}$ 上的点，将 $\text{[math]}$ 绕B点旋转，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，此时点E的对应点F在 $\text{[math]}$ 的延长线上，则四边形 $\text{[math]}$ 为“直等补”四边形，为什么？

（2）如图2，已知四边形 $\text{[math]}$ 是“直等补”四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ．
①求 $\text{[math]}$ 的长．

②若M、N分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边上的动点，求 $\text{[math]}$ 周长的最小值．

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6. 如图1，平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，等腰 $\text{[math]}$ 的底边 $\text{[math]}$ 在x轴上， $\text{[math]}$ ，顶点A在y的正半轴上， $\text{[math]}$ ，一动点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 出发，以每秒1个单位的速度沿 $\text{[math]}$ 向左运动，到达 $\text{[math]}$ 的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿 $\text{[math]}$ 向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ，使正方形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的同侧．设运动的时间为 $\text{[math]}$ 秒（ $\text{[math]}$ ）．

（1）当点H落在 $\text{[math]}$ 边上时，求t的值；

（2）设正方形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠面积为S，请问是存在t值，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，取 $\text{[math]}$ 的中点D，连结 $\text{[math]}$ ，当点E、F开始运动时，点N从点O出发，以每秒 $\text{[math]}$ 个单位的速度沿 $\text{[math]}$ 运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形 $\text{[math]}$ 内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形 $\text{[math]}$ 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．

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7. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A，B两点．

（1）若过点C的直线 $\text{[math]}$ 是抛物线的对称轴．
①求抛物线的解析式；

②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ 恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，函数值y的最大值满足 $\text{[math]}$ ，求b的取值范围．

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8. 已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P ，使EP＝CE ，连接BE ， FP ， BP ，设BC与DE交于M ， PB与EF交于N ．

（1）如图1，当D ， B ， F共线时，求证：
①EB＝EP；

②∠EFP＝30°；

（2）如图2，当D ， B ， F不共线时，连接BF ，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．

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9. 如图所示，二次函数 $\text{[math]}$ 的图像（记为抛物线 $\text{[math]}$ ）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且过点 $\text{[math]}$ ，求该二次函数的表达式；

（2）若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的判别式 $\text{[math]}$ ．求证：当 $\text{[math]}$ 时，二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与x轴没有交点．

（3）若 $\text{[math]}$ ，点P的坐标为 $\text{[math]}$ ，过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的 $\text{[math]}$ 顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线 $\text{[math]}$ 交于点D，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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10. 某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为 $\text{[math]}$ ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．

（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．

（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形 $\text{[math]}$ 时，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形．

（3）设平移的距离为 $\text{[math]}$ ，两张纸条重叠部分的面积为 $\text{[math]}$ ．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．

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11. 如图，抛物线经过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $\text{[math]}$ 是抛物线上的动点，当 $\text{[math]}$ 时，试确定m的值，使得 $\text{[math]}$ 的面积最大；

（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足 $\text{[math]}$ ，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

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12. 如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

（3） D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C.要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程.

（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

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13. 如图 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．已知直线 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ 两点．

（1）求抛物线和直线 $\text{[math]}$ 的表达式；

（2）点 $\text{[math]}$ 是抛物线上的一个动点，
①如图 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 在第一象限内，连接 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

②如图2，抛物线的对称轴 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 是对称轴 $\text{[math]}$ 上的一个动点，是否存在以点 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形?

若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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14. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”.例如 $\text{[math]}$ ……都是“雁点”.

（1）求函数 $\text{[math]}$ 图象上的“雁点”坐标；

（2）若抛物线 $\text{[math]}$ 上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）.当 $\text{[math]}$ 时.
①求c的取值范围；

②求 $\text{[math]}$ 的度数；

（3）如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，以点P为直角顶点，构造等腰 $\text{[math]}$ ，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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15. 如图，点 $\text{[math]}$ 为以 $\text{[math]}$ 为直径的半圆的圆心，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在直径 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上运动（点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合），连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）令 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直径 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是常数），求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式，并指明自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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16. 如图，半径为4的 $\text{[math]}$ 中，弦AB的长度为 $\text{[math]}$ ，点C是劣弧 $\text{[math]}$ 上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE，OD，OE．

（1）求 $\text{[math]}$ 的度数；

（2）当点C沿着劣弧 $\text{[math]}$ 从点A开始，逆时针运动到点B时，求 $\text{[math]}$ 的外心P所经过的路径的长度；

（3）分别记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求弦AC的长度．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 与x轴、y轴的交点分别为 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 过B ， C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿 $\text{[math]}$ 的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿 $\text{[math]}$ 方向运动，到达C点后，立即返回，向 $\text{[math]}$ 方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段 $\text{[math]}$ 上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）当点M ， N同时开始运动时，若以点M ， D ， C为顶点的三角形与以点B ， O ， N为顶点的三角形相似，求t的值；

（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q ，将线段 $\text{[math]}$ 沿过点B的直线翻折，点A的对称点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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18. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为斜边 $\text{[math]}$ 上一动点，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，使得点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）如图①，若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

（2）如图②，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

（3）如图③，若 $\text{[math]}$ ，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .若存在，求此时 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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