沪科版数学八年级下册勾股定理之最短路径问题（蚂蚁爬行）同步练习

修改时间：2025-03-10 浏览次数：4 类型：同步测试编辑

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一、选择题

1. 如图，正方体的棱长为 $\text{[math]}$ 是正方体的一个顶点， $\text{[math]}$ 是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点 $\text{[math]}$ 爬到点 $\text{[math]}$ 的最短路径长是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 如图，在长方体透明容器（无盖）内的点 $\text{[math]}$ 处有一滴糖浆，容器外 $\text{[math]}$ 点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ ，高为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 距底部 $\text{[math]}$ ，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图，长方体的长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ ，高为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 $\text{[math]}$ 爬到点 $\text{[math]}$ 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图，长方体的长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ ，高为 $\text{[math]}$ ，点B在棱 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图，地面上有一立方体物块宽AB=4cm，长BC=8cm，CD上的点G距地面的高CG=5cm，地面上一只蚂蚁从A处爬到G处，要爬行的最短路程是（）

A . 6cm B . $\text{[math]}$ C . 13cm D . 17cm

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6. 如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在 $\text{[math]}$ 中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（）

A . 15 B . 25 C . 35 D . 45

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7. 棱长分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的两个正方体如图放置，点A，B，C在同一直线上，顶点E在棱BF上，点P是棱DK的靠近点D的三等分点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于10cm，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是（）

A . 2 $\text{[math]}$ cm B . 2 $\text{[math]}$ cm C . 10cm D . 13cm

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9. 如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（　　）

A . 13 B . $\text{[math]}$ C . 15 D . 10

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10. 如图，已知圆柱底面的周长为 $\text{[math]}$ ，圆柱高为 $\text{[math]}$ ，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（）

A . 20米 B . 25米 C . 30米 D . 15米

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12. 如图，圆柱形玻璃杯高为 $\text{[math]}$ ，底面周长为 $\text{[math]}$ ，在杯内壁离杯底 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 $\text{[math]}$ 与蜂蜜相对的点 $\text{[math]}$ 处，则蚂蚁从外壁 $\text{[math]}$ 处到内壁 $\text{[math]}$ 处的最短距离为（） $\text{[math]}$ （杯壁厚度不计）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. 如图，圆柱形玻璃容器高 $\text{[math]}$ ，底面圆的周长为 $\text{[math]}$ ，在外侧距下底 $\text{[math]}$ 的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口 $\text{[math]}$ 的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. 如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点 $\text{[math]}$ 到顶点 $\text{[math]}$ 沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，底面边长为 $\text{[math]}$ ，则这圈金属丝的长度至少为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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15. 如图，三级台阶的每一级的长、宽、高分别为 $\text{[math]}$ ．点A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　）dm．

A . 12 B . 10 C . 17 D . 25

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16. 如图，四边形ABCD是长方形地面，长 $\text{[math]}$ ，宽 $\text{[math]}$ ，中间刚好有一堵墙，墙高 $\text{[math]}$ ，一只蜗牛从 $\text{[math]}$ 点爬到 $\text{[math]}$ 点，它必须部过中间那堵墙，则它至少要走（）

A . 10m B . 12m C . 13m D . 14m

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17. 如图是一个房间的立体图形，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， N是 $\text{[math]}$ 的中点，已知壁虎要沿着墙壁，地面从点M爬行到N，则它需要爬行的最短路程为（） $\text{[math]}$ ．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 10

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二、解答题

18. 如图，在锐角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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19. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当 $\text{[math]}$ 时，求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值”，其中 $\text{[math]}$ 可看作两直角边分别为 $\text{[math]}$ 和2的 $\text{[math]}$ 的斜边长， $\text{[math]}$ 可看作两直角边分别是 $\text{[math]}$ 和3的 $\text{[math]}$ 的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求 $\text{[math]}$ 的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为正数，且 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . 8 C . 10 D . 34

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20. 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．

（1）（思想应用）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为正实数，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，且不与端点重合，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
①用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ______，用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ______；
②据此直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值为______；

（2）（类比应用）已知 $\text{[math]}$ 为正实数 $\text{[math]}$ ，根据上述的方法，求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值．

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一、选择题

二、解答题

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