射影、母子、飞鱼、三角形内接矩形相似模型—浙教版数学九（上）知识点训练

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 面积为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 如图，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BD⊥AC ，垂足为 D ， AE平分∠BAC ，分别交 BD ， BC于点 F ， E ．若 AB：BC＝3：4，则 $\text{[math]}$ =.

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3. 如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝5EF＝5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝．

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4. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过D作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点H．

（1）求证： $\text{[math]}$ ．

（2）求 $\text{[math]}$ 长度．

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5. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以C为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作圆.点D为AB上的动点，DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，连结PQ，分别交AC和BC于点E、F，取PQ的中点M.

（1）当 $\text{[math]}$ 时，求劣弧PQ的度数；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，求AD的长；

（3）连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
①证明： $\text{[math]}$ .
②在点D的运动过程中，BM是否存在最小值？若存在，直接写出BM的值；若不存在，请说明理由.

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6. 如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，AD=3，则BC=．

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7. 如图，在△ABC中，D是AC上一点，已知 $\text{[math]}$ ．

（1）求证：∠ABD＝∠C；

（2）已知∠A＝20°，∠C＝40°，求∠CBD的度数．

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8. 如图，D为△ABC边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB ， BD＝2，AD＝4，则AC＝．

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9. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，D为边 $\text{[math]}$ 的中点，点E在边 $\text{[math]}$ 上，连结 $\text{[math]}$ ，并延长 $\text{[math]}$ 至点F，连结 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ．

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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10. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）如果BC= $\text{[math]}$ ， AC=3，求CD的长．

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11. 如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y= $\text{[math]}$ (m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(−3，4)，点B的坐标为(6，n)．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）连接OB ，求△AOB的面积；

（3）在x轴上是否存在点P ，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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12. 综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B ， D ，连接AD ， AB ， BC ， CD ，如果∠B＝∠D ，那么A ， B ， C ， D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A ， C ， D的⊙O ，在劣弧AC上取一点E（不与A ， C重合），连接AE ， CE ，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A ， B ， C ， E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B ， D在点A ， C ， E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A ， B ， C ， D四点在同一个圆上

（1）反思归纳：
上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：；依据2：．

（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为．

（3）拓展探究：
如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC ，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD ．作点C关于AD的对称点E ，连接EB并延长交AD的延长线于F ，连接AE ， DE ．
①求证：A ， D ， B ， E四点共圆；
②若AB＝2 $\text{[math]}$ ， AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．

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13. 如图，在圆内接 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，弦 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点E，延长 $\text{[math]}$ 至点F，连接 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，使 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交于点H．

（1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为直径，求 $\text{[math]}$ 的度数．

（2）求证： $\text{[math]}$ ．

（3）求证： $\text{[math]}$ ．

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14. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . 60 B . 120 C . 50 D . 100

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16. 如图， $\text{[math]}$ 是一块锐角三角形余料，边 $\text{[math]}$ ，高 $\text{[math]}$ ，要把它加工成一个正方形零件，使一边在 $\text{[math]}$ 上，其余两个顶点分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上．则该正方形的边长是m．

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17. 有一块三角形余料 $\text{[math]}$ ，它的边 $\text{[math]}$ ，高线 $\text{[math]}$ 要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在 $\text{[math]}$ 上，其余两个顶点分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．

（2）当 $\text{[math]}$ 时，求加工成的矩形零件的周长．

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一、射影定理模型（双垂直模型）

二、母子相似模型（公共边公共角）

三、梅涅劳斯定理、飞鱼相似模型

四、三角形内接矩形相似

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