2024年浙教版数学七（下）微素养核心突破8 整式运算的应用

修改时间：2024-04-16 浏览次数：51 类型：复习试卷编辑

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一、求图形的周长或面积

1. 如果长方形的长为( $\text{[math]}$ 宽为(2a+1)，那么这个长方形的面积为（）

A . 8a³-4a²+2a-1 B . 8a³+4a²-2a-1 C . 8a³-1 D . 8a³+1

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2. 有若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分周长为24，其中6个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102，则每个小长方形的面积为（）

A . 4 B . 6 C . 8 D . 10

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3. 有若干个大小、形状完全相同的小长方形，现将其中4个按如图1所示的方式摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分的面积为40.再用5个按如图2所示的方式摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分的面积为100(各个小长方形之间不重叠不留空)，则每个小长方形的面积为（）

A . 5 B . 10 C . 20 D . 30

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4. 如果一个长方形的周长为10，其中长为a，那么该长方形的面积为（　　）

A . 10a B . 5a﹣a² C . 5a D . 10a﹣a²

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5. 现有若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长宽为a、b的长方形C型纸片，小明同学选取了1张A型纸片，4张B型纸片，4张C型纸片拼成了一个四边形，则此四边形的周长为．（用a、b代数式表示）

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6. 如图所示，在长方形 $\text{[math]}$ 中，横向涂色部分是长方形，另一涂色部分是平行四边形，则空白部分的面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：(a＋2b)(a＋b)＝a²＋3ab＋2b² ．

图1 图2

（1）根据图2，可得等式：．

（2）利用题(1)所得结论解决问题：已知a＋b＋c＝12，ab＋bc＋ac＝47，求a²＋b²＋c²的值；

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8. 热爱数学的小明在家中发现了一根铁丝，他先把该铁丝做成如图甲的长方形，再把该铁丝做成如图乙的长方形，它们的边长如图所示，面积分别为， .

（1）请计算甲，乙长方形的面积差.

（2）若把该铁丝做成一个正方形，该正方形的面积为. 已知，求的值.

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9. 先将一张边长为a的正方形纸片按如图1所示的方式放置于长方形 ABCD内，再将长为 b(b $\text{[math]}$ b 的长方形纸片按如图2，3所示的两种方式放置，长方形 ABCD未被覆盖的部分用阴影表示，设图2 中阴影部分的面积为 S₁ ，图3中阴影部分的面积为 S₂ ，且S₂-S₁=2b，则AD-AB的值为（）

A . 1 B . 2 C . 4 D . 5

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10. 在长方形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a>b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若图1中阴影部分的面积为 S₁，图2中阴影部分的面积和为 S₂，则关于 S₁，S₂的大小关系表述正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 如图，将两张边长分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边 $\text{[math]}$ 的长度分别为 $\text{[math]}$ ．设图1中阴影部分面积为 $\text{[math]}$ ，图2中阴影部分面积为 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 3b B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 在长方形ABCD内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（ $\text{[math]}$ ），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为 $\text{[math]}$ ，图2中阴影部分的面积为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，若知道下列条件，能求 $\text{[math]}$ 值的是（）

A . 边长为a的正方形的面积 B . 边长为b的正方形的面积 C . 边长为a的正方形的面积与两个边长为b的正方形的面积之和 D . 边长a与b之差

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13. 如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=10，其内部有边长为a的正方形AEFG与边长为b的正方形HIJK，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5.若右侧阴影部分的面积S₂是左侧阴影部分面积S₁的4倍，则正方形AEFG与正方形HIJK的面积之和为（）

A . 20 B . 25 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. 如图，把五个长为b，宽为a（b>a)的小长方形，按图一和图二两种方式放在一个长比宽大 $\text{[math]}$ 的大长方形上，设图一中两块阴影部分的周长和为 $\text{[math]}$ ，图2中阴影部分的周长和为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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15. 如图有两张正方形纸片A和B ，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（）

A . 22 B . 24 C . 42 D . 44

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二、结合乘法公式

16. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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17. 如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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18. 如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果a+b=7，ab=11，那么阴影部分的面积为（）

A . 24 B . 16 C . 9 D . 8

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19. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值，这个问题我们可以用边长分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的两种正方形组成一个图形来解决，其中 $\text{[math]}$ ，能较为简单地解决这个问题是图形是（）

A . B . C . D .

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20. 如图，将图1中 $\text{[math]}$ 形的纸片进行如图2的前拼，改造成了一个长方形，通过拼接前后两个图形的面积关系可以验证的等式是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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21. 如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后得到的图形，小佳将阴影部分通过剪拼，拼成了图①、图②、图③三种新的图形，其中能够验证平方差公式的是（）

A . ①② B . ①③ C . ②③ D . ①②③

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22. 如图，正方形ABCD和长方形DEFG的面积相等，且四边形AEFH也为正方形．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：AH²＝AB×BH ．设AB＝a ， BH＝b ．若ab＝80，则图中阴影部分的周长为（）

A . 40 B . 45 C . 50 D . 60

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23. 如图，为了美化校园，某校要在面积为30平方米长方形空地 $\text{[math]}$ 中划出长方形 $\text{[math]}$ 和长方形 $\text{[math]}$ ，若两者的重合部分 $\text{[math]}$ 恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地 $\text{[math]}$ 的长和宽分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，花圃区域 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 总周长为14米，则m-n的值为（）

A . $\text{[math]}$ 米 B . $\text{[math]}$ 米 C . $\text{[math]}$ 米 D . $\text{[math]}$ 米

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24. 如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b的长方形，若长方形的周长为 16，面积为 15.75，则图中阴影部分的面积 $\text{[math]}$ =.

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25. 如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块边长都为m的大正方形，两块边长都为n的小正方形，五块长为m，宽为n的小长方形．若每块小长方形的面积为7，四块正方形的面积和为100，则这个长方形纸板的周长为．

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26. 某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福.小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示.若四个正方形的周长之和为32，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为 .

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27. 如图4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S₁ ，阴影部分的面积为S₂ ．若S₁＝2S₂ ，则a：b=（）

A . 3：2 B . 5：2 C . 2：1 D . 3：1

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28. 两个边长分别为a、b（a>b）的正方形如图（1）放置，现在取BD的中点P，连接PA、PE，如图（2），把图形分割成三部分，分别标记①、②、③，对应的图形面积分别记为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

（1）用字母a、b分别表示 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .

（3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .

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29. （1）请用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积和.
方法1：____；
方法2：____.

（1）请你直接写出三个代数式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ab之间的等量关系.

（2）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
①已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求mn和 $\text{[math]}$ 的值；
②已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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30. 我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.例如：由图1可得到 $\text{[math]}$

（1）写出由图2所表示的数学等式：.

（2）根据上面的等式，如果将 $\text{[math]}$ 看成 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的展开式（结果化简）；若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

（3）已知实数a、b、c，满足以下两个条件： $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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三、实际应用

31. 某厂原来生产一种边长为a厘米的正方形地砖，现将地砖的一边扩大3厘米，另一边缩短3厘米，改成生产长方形地砖.若材料的成本价为每平方厘米b元，则这种长方形地砖每块的材料成本价与正方形地砖相比（）

A . 增加了9b元 B . 增加了3ab元 C . 减少了9b元 D . 减少了3ab元

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32. 某校操场原来的长是2x米，宽比长少 10米，现在把操场的长与宽都增加了 5米，则整个操场的面积增加了平方米.

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33. 一套房子的平面结构图如图所示(单位：m)．

（1）这套房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要m² 的地砖．如果该种地砖的价格是a元/平方米，那么购买地砖至少需要元．

（2）已知房屋的高度为h(m)，现需要在客厅和卧室的墙上贴壁纸，那么至少需要m²的壁纸．如果某种壁纸的价格是b元/平方米，那么购买壁纸至少需要元(计算时不扣除门、窗所占的面积)．

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34. 如图，要设计一幅长为(6x+4y)厘米，宽为(4x+2y)厘米的长方形图案，其中两横两竖涂上阴影，阴影部分的宽均为x厘米．

（1）阴影部分的面积是多少平方厘米？(用含x，y的代数式表示)

（2）空白区域的面积是多少平方厘米？(用含x，y的代数式表示)

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35. 学校为迎接艺术节，准备在一个正方形空地 $\text{[math]}$ 上搭建一个表演舞台，如图所示，正中间是“红五月”三个正方形平台．其中“五”字正方形和“月”字正方形边长均为a米，“红”字正方形边长为b米．Ⅰ号区域布置造型背景，Ⅱ号区域设置为乐队演奏席．

（1）用含a，b的代数式表示阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）并化简；

（2）若阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）为288平方米，且 $\text{[math]}$ 米，求“红”字正方形边长b的值．

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36. 现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花.

（1）如图1，大长方形的相邻两边长分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求小长方形的相邻两边长.

（2）如图2，设大长方形的相邻两边长分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，小长方形的相邻两边长分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .
①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.

②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 满足的关系式（不含a，b）.

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37. 同学们一起布置艺术节活动现场，现在有一个边长为a的大正方形固定场地，以及四个边长为b的小正方形活动场地，设计如图1所示的阴影部分为展览区，其面积为S₁；如图2所示的阴影部分为竞赛区，其面积为S₂ ．

（1）用含a，b的代数式分别表示S₁、S₂ ．

（2）若a+b＝17，a²+b²=169，求S₁+S₂的值．

（3）如图3，在（2）的基础上，将四个活动区域外移，形成的阴影部分为表演场地，其面积为S₃ ，求S₃的值．

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四、规律性问题

38. 在数学中，为了书写方便，我们记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则简化 $\text{[math]}$ 的结果是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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39. 观察下列等式：
$\text{[math]}$ ①
$\text{[math]}$ ②
$\text{[math]}$
……
寻找规律并解决下列问题：

（1）完成第四个等式：9² $\text{[math]}$ 4×=.

（2）写出你猜想的第 n个等式（用含 n的代数式表示），并验证其正确性.

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40. 阅读材料，回答下列问题：
2021×20202020-2020×20212021=？
分析可知，解决这个问题时，直接计算比较复杂，可尝试用x代替2021，y代替2020．
解：令2021=x ，2020=y，则
原式=x(y·10⁴+y)-y(x·10⁴+x)=xy·10⁴+xy-xy·10⁴-xy=0．
请回答下列问题：

（1）在上述材料中，解决问题时体现了思想．

（2）计算： $\text{[math]}$

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41. 观察下列各式：
$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；
……
根据这一规律计算：

（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2） $\text{[math]}$ ；

（3） $\text{[math]}$ .

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42. 观察下列各式：
(x-1)(x+1)=x²-1，
(x-1)(x²+x+1)=x³-1，
(x-1)(x³+x²+x+1)=x⁴-1，
……

（1）填空：(x-1)() =x⁵-1．

（2）根据规律可得(x-1) (x^n-1+……+x+1)=(其中n为正整数) ．

（3）计算： (3-1) (3⁵⁰+3⁴⁹+3⁴⁸+……+3²+3+1)．

（4）计算： (-2)²⁰²⁰+(-2)²⁰¹⁹+(-2)²⁰¹⁸+……+(-2)³+(-2)²+(-2)+1．

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43. 如图1，我们在某月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”(先将十字星左右两数，上下两数分别相乘，再将所得的积作差，即为该十字星的“十字差”)，则该十字星的“十字差”为12×14-6×20=48，再选择其他位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48.

（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，这个定值为.

（2）若将正整数依次填入6列的长方形数表中，不同位置十字星的“十字差”是一个定值吗? 如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

（3）若将正整数依次填入k列的长方形数表中(k≥3)，继续前面的探究，可以发现相应的“十字差”只与列数k有关，请用含 k的代数式表示出这个“十字差”，并说明理由.

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2024年浙教版数学七（下）微素养核心突破8 整式运算的应用

一、求图形的周长或面积

二、结合乘法公式

三、实际应用

四、规律性问题

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