山东省烟台市2021年高三上学期数学期中考试试卷

修改时间：2024-07-13 浏览次数：255 类型：期中考试编辑

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一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若非零向量 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 若M为 $\text{[math]}$ 的边AB上一点，且 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 函数 $\text{[math]}$ 在其定义域上的图象大致为（）

A . B . C . D .

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7. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为 $\text{[math]}$ ，则经过一定时间 $\text{[math]}$ 后的温度T将满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是环境温度，h称为半衰期.现有一杯85℃的热茶，放置在25℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要10分钟，则欲降温到45℃，大约需要多少分钟？（）（1g2≈0.3010，1g3≈0.4771）

A . 12 B . 14 C . 16 D . 18

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 有两个不同的零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知 $\text{[math]}$ 是定义在R上的奇函数，且满足 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 是满足条件的一个函数

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11. 函数 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ 是常数， $\text{[math]}$ ）的部分图象如图所示，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的对称轴为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的递减区间为 $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减 B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的值域为 $\text{[math]}$ D . 若函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减

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三、填空题

13. 设 $\text{[math]}$ 为单位向量，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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14. 函数 $\text{[math]}$ 的定义域为

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ 是定义在R上的偶函数，其导函数为 $\text{[math]}$ ，若对任意的正实数， $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为

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16. 如图，C、D是两所学校所在地，C、D到一条公路的垂直距离分别为 $\text{[math]}$ .为了缓解上下学的交通压力，决定在AB上找一点P，分别向C、D修建两条互相垂直的公路PC和PD，设 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 最小时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

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四、解答题

17. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知向量 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量长度为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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18. 某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游。为提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级，经市场调查，改造后旅游增加值y万元投入 $\text{[math]}$ 万元之间满足： $\text{[math]}$ （a，b为常数），当 $\text{[math]}$ 万元时， $\text{[math]}$ 万元；当 $\text{[math]}$ 万元时， $\text{[math]}$ 万元.（参考数据： $\text{[math]}$ ）

（1）写出该景点改造升级后旅游增加利润 $\text{[math]}$ 万元与投入 $\text{[math]}$ 万元的函数解析式；（利润=旅游增加值－投入）

（2）投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？（精确到0.1）

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19. 在① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：在 $\text{[math]}$ 中，它的内角A，B，C的对边分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的外接圆半径为2，且 $\text{[math]}$ ，___________.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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20. 古希腊数学家海伦著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积.若三角形的三边分别为 $\text{[math]}$ ，则其面积 $\text{[math]}$ ，这里 $\text{[math]}$ ，已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）设 $\text{[math]}$ ，试将三角形的面积s表示成 $\text{[math]}$ 的函数；

（2）求s的最大值，并求三角形面积最大时 $\text{[math]}$ 的值.

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）.

（1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；

（2）若关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）若对任意的实数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的图象与直线 $\text{[math]}$ 有且只有两个交点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（2）设 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 有两个极值点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

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