2025高考一轮复习（人教A版）第二十讲空间几何体的结构特征、表面积与体积

1. 若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，还有两个面是全等的等腰三角形，若 $\text{[math]}$ m， $\text{[math]}$ m，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面 $\text{[math]}$ 的夹角均为 $\text{[math]}$ ，则该五面体的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的动点．若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值的最大值为 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知三棱锥 $\text{[math]}$ 的所有顶点都在表面积为 $\text{[math]}$ 的球的球面上， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）. $\text{[math]}$ ，则这块菜地的面积为（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 3

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7. 三棱锥 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球表面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作截面 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 周长的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图，三棱台 $\text{[math]}$ 中，M 是AC上一点， $\text{[math]}$ 平面ABC，∠ABC=90°， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 三棱台 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ D . 若点P在侧面 $\text{[math]}$ 上运动（含边界），且CP与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值为4，则BP长度的最小值为 $\text{[math]}$

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10. 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，下列四个结论中正确的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ C . 四面体 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ D . 点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$

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11. 如图，若正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，点 $\text{[math]}$ 是正方体的侧面 $\text{[math]}$ 上的一个动点（含边界）， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上靠近 $\text{[math]}$ 点的三等分点，则下列结论正确的有（）

A . 沿正方体的表面从点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的最短路程为 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹是线段 C . 若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 在侧面 $\text{[math]}$ 内运动路径长度为 $\text{[math]}$ D . 当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大

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12. 已知圆锥的顶点为 $\text{[math]}$ 为底面圆 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 与底面所成的角为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 该圆锥的侧面积为 $\text{[math]}$ B . 该圆锥的休积为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 该圆锥内部半径最大的球的表面积为 $\text{[math]}$

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13. 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD为正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为．

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14. 已知圆锥 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是底面圆的圆心， $\text{[math]}$ 是圆锥的顶点）的母线长为 $\text{[math]}$ ，高为1， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为底面圆周上任意两点.有以下三个结论：
①三角形 $\text{[math]}$ 面积的最大值为2；
②三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值为 $\text{[math]}$
③四面体 $\text{[math]}$ 外接球表面积的最小值为 $\text{[math]}$ .
以上正确的结论是.

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15. 与圆柱底面成 $\text{[math]}$ 角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为.

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16. 在几何体 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为6的正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 $\text{[math]}$ 垂直. $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；

（2）若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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17. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E、F分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求直线 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；

（2）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点M，使得直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值是 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值，若不存在，说明理由；

（3）在平面 $\text{[math]}$ 内是否存在点H，满足 $\text{[math]}$ ，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状.

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18. 已知圆锥的顶点为 $\text{[math]}$ ，底面圆心为 $\text{[math]}$ ，半径为2．

（1）若圆锥的侧面积为 $\text{[math]}$ ，求圆锥的体积；

（2）设 $\text{[math]}$ 是底面半径，且 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，如图．求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的大小．

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19. 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），如图，直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的上方）， $\text{[math]}$ 两点，圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左侧），将平面 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴折叠，使 $\text{[math]}$ 轴正半轴和 $\text{[math]}$ 轴所确定的半平面（平面 $\text{[math]}$ ）与 $\text{[math]}$ 轴负半轴和 $\text{[math]}$ 轴所确定的半平面（平面 $\text{[math]}$ ）互相垂直，再以 $\text{[math]}$ 为坐标原点，折叠后原 $\text{[math]}$ 轴负半轴，原 $\text{[math]}$ 轴正半轴，原 $\text{[math]}$ 轴正半轴所在直线分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）若 $\text{[math]}$ ．
（ⅰ）求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；
（ⅱ）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

（2）是否存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 折叠后的长度与折叠前的长度之比为 $\text{[math]}$ ？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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2025高考一轮复习（人教A版）第二十讲空间几何体的结构特征、表面积与体积

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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