设 $\vec{D M} = t \vec{D P}$ ( $0 \leq t \leq 1$ )，如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，

∴ $P (0, 0, 1), B (0, 1, 0), C (2 \sqrt{2}, 1, 0), D (2 \sqrt{2}, - 1, 0)$ ，

∴ $\vec{P B} = (0, 1, - 1), \vec{P C} = (2 \sqrt{2}, 1, - 1), \vec{D P} = (- 2 \sqrt{2}, 1, 1), \vec{C D} = (0, - 2, 0)$ ，

∴ $\vec{C M} = \vec{C D} + \vec{D M} = \vec{C D} + t \vec{D P} = (- 2 \sqrt{2} t, t - 2, t)$ ，

设平面 $P B C$ 的法向量 $\vec{n} = (x, y, z)$ ，

则有 $\{\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \vec{P B} = y - z = 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{P C} = 2 \sqrt{2} x + y - z = 0 \end{array}$ ，令 $y = 1$ ，得 $z = 1, x = 0$ ，则 $\vec{n} = (0, 1, 1)$ ，

由题意 $|\cos ⟨\vec{n}, \vec{C M}⟩| = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{C M}|}{|\vec{n}| |\vec{C M}|} = \frac{| 2 t - 2 |}{\sqrt{2} \times \sqrt{{(- 2 \sqrt{2} t)}^{2} + {(t - 2)}^{2} + t^{2}}} = \frac{1}{3}$ ，

整理得 $4 t^{2} - 16 t + 7 = 0$ ，解得 $t = \frac{1}{2}$ 或 $\frac{7}{2}$ (舍去)，

所以当 $\frac{D M}{D P} = \frac{1}{2}$ 时，直线 $C M$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值是 $\frac{1}{3}$ ．

2025高考一轮复习（人教A版）第二十讲空间几何体的结构特征、表面积与体积