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题型：解答题题类：难易度：困难

江西省南昌市江西师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），如图，直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的上方）， $\text{[math]}$ 两点，圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左侧），将平面 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴折叠，使 $\text{[math]}$ 轴正半轴和 $\text{[math]}$ 轴所确定的半平面（平面 $\text{[math]}$ ）与 $\text{[math]}$ 轴负半轴和 $\text{[math]}$ 轴所确定的半平面（平面 $\text{[math]}$ ）互相垂直，再以 $\text{[math]}$ 为坐标原点，折叠后原 $\text{[math]}$ 轴负半轴，原 $\text{[math]}$ 轴正半轴，原 $\text{[math]}$ 轴正半轴所在直线分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）、若 $\text{[math]}$ ．

（ⅰ）求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；

（ⅱ）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

（2）、是否存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 折叠后的长度与折叠前的长度之比为 $\text{[math]}$ ？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

举一反三

如图，在正四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为 $\text{[math]}$ ，半径为 $\text{[math]}$ ，则该圆锥的体积等于{#blank#}1{#/blank#} $\text{[math]}$ ．

某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥 $\text{[math]}$ 的高是长方体 $\text{[math]}$ 高的 $\text{[math]}$ ，且底面正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4， $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的长及该长方体的外接球的体积；

（2）求正四棱锥的斜高和体积．

已知矩形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 进行翻折，得到三棱锥 $\text{[math]}$ ，在翻折的过程中下列结论成立的是（）

在空间立体几何中，球面往往是重要的研究对象，同时，它与平面几何中的圆息息相关.而对于几何体的研究中，几何重心的选取显得尤为重要.古希腊著名数学家巴普斯（Pappus）在研究过程中发现了一个性质：平面内任一面积为 $\text{[math]}$ 的区域沿着垂直于该区域的平面运动得到体积为 $\text{[math]}$ 的立体，若记 $\text{[math]}$ 为此区域的几何重心运动的轨迹长度，则有 $\text{[math]}$ .

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