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题型：多选题题类：难易度：困难

广东省卓越联盟学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试题

如图，若正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，点 $\text{[math]}$ 是正方体的侧面 $\text{[math]}$ 上的一个动点（含边界）， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上靠近 $\text{[math]}$ 点的三等分点，则下列结论正确的有（）

A、沿正方体的表面从点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的最短路程为 $\text{[math]}$ B、若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹是线段 C、若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 在侧面 $\text{[math]}$ 内运动路径长度为 $\text{[math]}$ D、当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大

举一反三

如图，已知圆柱底面圆的半径为 $\text{[math]}$ ，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线，若一支小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，求小虫爬行的最短长度．

若圆锥的母线长为 $\text{[math]}$ ，侧面展开图的面积为 $\text{[math]}$ ，则该圆锥的体积是（）

“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，当一个正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分即为“牟合方盖”，他提出“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为定值．南北朝时期祖暅提出理论：“缘幂势既同，则积不容异”，即“在等高处的截面面积总是相等的几何体，它们的体积也相等”，并算出了“牟合方盖”和球的体积．其大体思想可用如图表示，其中图1为棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体的八分之一，图3是以底面边长为 $\text{[math]}$ 的正方体的一个底面和底面以外的一个顶点作的四棱锥，则根据祖暅原理，下列结论正确的是：（）

圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为 $\text{[math]}$ ，半径为 $\text{[math]}$ ，则该圆锥的体积等于{#blank#}1{#/blank#} $\text{[math]}$ ．

球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球 $\text{[math]}$ 的半径为R ， A ， B ， $\text{[math]}$ 为球面上三点，劣弧BC的弧长记为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 表示以 $\text{[math]}$ 为圆心，且过B ， C的圆，同理，圆 $\text{[math]}$ 的劣弧 $\text{[math]}$ 的弧长分别记为 $\text{[math]}$ ，曲面 $\text{[math]}$ （阴影部分）叫做曲面三角形， $\text{[math]}$ ，则称其为曲面等边三角形，线段OA ， OB ， OC与曲面 $\text{[math]}$ 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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