命题新趋势5 新定义——2024年北师大版数学八（下）期末复习

修改时间：2024-06-03 浏览次数：22 类型：复习试卷编辑

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一、选择题

1. 定义一种运算： $\text{[math]}$ ，现有两个满足该运算条件的式子： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 定义一种新运算：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则x的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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3. 对于实数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，定义一种新运算“ $\text{[math]}$ ”为： $\text{[math]}$ ，这里等式右边是实数运算．例如： $\text{[math]}$ ．则方程 $\text{[math]}$ 的解是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 对于实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，定义一种新运算“ $\text{[math]}$ ”为： $\text{[math]}$ ，这里等式右边是通常的实数运算.例如： $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ 的解是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b﹣2.例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11.请根据上述的定义解决问题：若不等式2※x＞2，则不等式的解为（　　）

A . x＞1 B . x＞2 C . x＜1 D . x＜2

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6. 定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x=y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M（1，1），N（-2，-2），都是“平衡点”．当 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 上有“平衡点”，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 对于实数 $\text{[math]}$ ，定义符号 $\text{[math]}$ 其意义为：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．例如： $\text{[math]}$ ，若关于 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ ，则该函数的最大值是（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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二、填空题

8. 定义运算“※”： $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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9. 现定义一种新运算： $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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10. 我们定义一种新运算： $\text{[math]}$ ，如 $\text{[math]}$ ，则关于a的不等式 $\text{[math]}$ 的最小整数解为．

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11. 定义 $\text{[math]}$ ，如： $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且关于x的方程 $\text{[math]}$ 无解，则实数k的值为．

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12. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于点 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：当点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 时，称点Q是点P的等积点．已知点 $\text{[math]}$ ．

（1）在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，点P的等积点是．

（2）点Q是点P的等积点，点C在x正半轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为．

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13. 定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”那么顶角为120°的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）

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三、实践探究题

14. 对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b= $\text{[math]}$ ，这里等式右边是通常的四则运算．请解方程（﹣2）⊗x=1⊗x．

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15. 定义：若分式 $\text{[math]}$ 与分式 $\text{[math]}$ 的差等于它们的积，即 $\text{[math]}$ ，则称分式 $\text{[math]}$ 是分式 $\text{[math]}$ “友好分式”．
如 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

所以 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“友好分式”．

（1）分式 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）；

（2）小明在求分式 $\text{[math]}$ 的“友好分式”时，用了以下方法：
设 $\text{[math]}$ 的“友好分式”为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
请你仿照小明的方法求分式 $\text{[math]}$ 的“友好分式”．

（3） ①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 $\text{[math]}$ 的“友好分式”：．
②若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“友好分式”，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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16. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程 $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ，不等式组 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ ．因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 是不等式组 $\text{[math]}$ 的“相伴方程”．

（1）若不等式组为 $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ 是不是该不等式组的相伴方程，请说明理由；

（2）若关于x的方程 $\text{[math]}$ 是不等式组 $\text{[math]}$ 相伴方程，求a的取值

（3）若方程 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是关于x的不等式组 $\text{[math]}$ 的相伴方程，求k的取值范围．

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17. 定义：如果平行四边形的一组对边之和等于一条对角线的长时，我们称这个四边形为“沙漏四边形”．

（1）当沙漏四边形是矩形时，两条对角线所夹锐角为度；

（2）如图，在沙漏四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ，满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，过点B、D分别作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为E、F ，连接DE、BF ，所得四边形BEDF也是沙漏四边形．若 $\text{[math]}$ ，求BC的长以及 $\text{[math]}$ 的面积．

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18. 定义： $\text{[math]}$ 为正整数，若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为“完美勾股数”， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“伴侣勾股数”．如 $\text{[math]}$ ，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．

（1）数10“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；

（2）已知 $\text{[math]}$ 的三边 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ 是“完美勾股数”．

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19. 定义新运算：对于任意实数a ， b都有 $\text{[math]}$ ，如： $\text{[math]}$ ，请求出不等式 $\text{[math]}$ 的正整数解．

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20. 我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．如 $\text{[math]}$ ，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．

（1）若关于x的不等式 $\text{[math]}$ ，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；

（2）已知关于x的不等式C： $\text{[math]}$ ， D： $\text{[math]}$ ，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；

（3）已知 $\text{[math]}$ ，且k为整数，关于x的不等式 $\text{[math]}$ ，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．

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21. 定义新运算“★”和“#”如下： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．例如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）计算 $\text{[math]}$ ；

（2）已知 $\text{[math]}$ 是关于x的不等式组，求该不等式组的所有整数解的中位数．

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22. 定义运算 min{a，b}：当 a≥b 时，min{a，b}＝b；当 a＜b 时，min{a，b}＝a；如：min{4，0}＝0；min{2，2}＝2；min{﹣3，﹣1}＝﹣3．根据该定义运算完成下列问题：

（1） min{﹣3，2}＝，当 x≤3 时，min{x，3}＝；

（2）如图，已知直线 y₁＝x+m 与 y₂＝kx﹣2 相交于点 P（﹣2，1），若 min{x+m，kx﹣2}＝kx﹣2，结合图象，直接写出 x 的取值范围是；

（3）若 min{3x﹣1，﹣x+3}＝3﹣x，求 x 的取值范围．

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23. 我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形．

（1） ①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定（填“是”或“不是”）可爱三角形；
②若三角形的三边长分别是4， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该三角形（填“是”或“不是”）可爱三角形；

（2）若 $\text{[math]}$ 是可爱三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

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24. 【阅读】
定义：如果一个三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．

（1）【理解】
①若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ “准直角三角形”；（填“是”或“不是”）
②已知 $\text{[math]}$ 是“准直角三角形”，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为．

（2）【应用】
如图，在 $\text{[math]}$ 中，点D在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试说明 $\text{[math]}$ 是“准直角三角形”．

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命题新趋势5 新定义——2024年北师大版数学八（下）期末复习

一、选择题

二、填空题

三、实践探究题

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