备考2024年中考数学核心素养专题二十三函数的综合问题

1. 数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，方程3x＝ax+b的解为（）

A . x＝1 B . x＝-1 C . x＝3 D . x＝-3

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2. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在第二象限交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴分别于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ ，则方程组 $\text{[math]}$ 的解为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，这两条直线相交于点 $\text{[math]}$ ，则不等式组 $\text{[math]}$ 的解集为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象经过 $\text{[math]}$ 边的中点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 5 B . 6 C . 7 D . 8

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5. 如图， $\text{[math]}$ 的直角顶点在坐标原点 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上，点 $\text{[math]}$ 在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图所示的是三个反比例函数y= $\text{[math]}$ ， y= $\text{[math]}$ ， y= $\text{[math]}$ 在x轴上方的图象，由此观察得到k₁ ， k₂ ， k₃的大小关系是（）

A . k₁>k₂>k₃ B . k₃>k₂>k₁ C . k₂>k₃>k₁ D . k₃>k₁>k₂

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7. 已知抛物线y＝ax²+bx+c（a ， b ， c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x＝ $\text{[math]}$ ，有下列结论：①abc＞0；
②关于x的方程ax²+bx+c＝a有两个不等的实数根；
③a＜﹣ $\text{[math]}$ ．
其中，正确结论的个数是（　　）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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8. 已知二次函数 $\text{[math]}$ 为非零常数， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而增大，则下列结论正确的是（）
$\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而减小； $\text{[math]}$ 若图象经过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是函数图象上的两点，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 若图象上两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 对一切正数 $\text{[math]}$ 总有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于A ， B两点，且点A的横坐标是－1，点B的横坐标是4，有以下结论：①若点A在 $\text{[math]}$ 轴上，则抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点坐标为（3，0）；②当 $\text{[math]}$ 时，一次函数 $\text{[math]}$ 与二次函数 $\text{[math]}$ 的函数值 $\text{[math]}$ 都随 $\text{[math]}$ 的增大而增大；③ $\text{[math]}$ 的长度可以等于5，其中正确的结论有（）

A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个

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10. 二次函数 $\text{[math]}$ 的顶点坐标为 $\text{[math]}$ ，其部分图象如图所示，下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ③若点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是函数图象上的两点，则 $\text{[math]}$ ；④关于x的方程 $\text{[math]}$ 无实数根；其中正确结论有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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11. 在平面直角坐标系内，一次函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为常数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，则关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集为．

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12. 如图，点A是反比例函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）图象上一点， $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ 且与反比例函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的图象交于点B ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的面积为8，则 $\text{[math]}$ ．

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13. 如图，抛物线y＝ax²+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y₁）、B（1，y₂）两点，则关于x的不等式ax²+c≥﹣kx+m的解集是．

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14. 如图，抛物线y=ax²+5ax+4与x轴交于C，D两点，与y轴交于点B，过点B作平行于x轴的直线，交抛物线于点A，连结AD，BC.若点A关于直线BD的对称点恰好落在线段DC上，则a=.

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15. 在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ，点P的“变换点”Q的坐标定义如下：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 按上述“变换点”组成新图形，直线 $\text{[math]}$ 与新图形恰好有两个公共点，则k的取值范围．

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16. 如图，将一把矩形直尺 $\text{[math]}$ 和一块含 $\text{[math]}$ 角的三角板 $\text{[math]}$ 摆放在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，三角板的直角边 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象恰好经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 若直尺的宽 $\text{[math]}$ ，三角板的斜边 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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17. 如图，一次函数 $\text{[math]}$ 的图与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于A（﹣2，m），B（4，﹣2）两点，与x轴交于C点，过A作AD⊥x轴于D．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）求△ADC的面积；

（3）根据图象直接写出不等式 $\text{[math]}$ 的解集.

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18. 小宇在学习过程中遇到了一个函数 $\text{[math]}$ ．
下面是小宇对其探究的过程，请补充完整：

（1）对于函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而减小，
对于函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大
而结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而；

（2）当 $\text{[math]}$ 时，对于函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的几组对应值如下表：

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，画出当 $\text{[math]}$ 时函数 $\text{[math]}$ 的图象．

（3）过点 $\text{[math]}$ 作平行于 $\text{[math]}$ 轴的直线 $\text{[math]}$ ，结合 $\text{[math]}$ 的分析，解决问题：
若直线 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 的图象有两个交点，则 $\text{[math]}$ ．

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19. 如图，已知直线l：y＝x+4与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于点A（﹣1，n），直线l'经过点A ，且与l关于直线x＝﹣1对称．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求图中阴影部分的面积；

（3）已知直线l：y＝x+4与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于点另一点B ， P在平面内，若以点A ， B ， P ， O为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件点P的坐标．

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20. 已知抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是常数）．

（1）求证：该抛物线的顶点在函数 $\text{[math]}$ 的图象上；

（2）若点 $\text{[math]}$ 在该抛物线上，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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21. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3经过点 A(-1，0)，B(3，0)，与 y轴交于点C，直线 y=x+2与y轴交于点D，交抛物线于E，F两点，点P为线段EF上一个动点(与E，F不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q.

（1）求抛物线的解析式.

（2）当P在什么位置时，四边形PDCQ为平行四边形?求出此时点P的坐标.

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22. 如图，一次函数 $\text{[math]}$ 与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．

（1）求一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出使 $\text{[math]}$ 成立的 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（3）求 $\text{[math]}$ 得面积．

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23. 如图，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象与一次函数 $\text{[math]}$ 的图象交于第二象限的点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，其中点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的到 $\text{[math]}$ 轴的距离为 $\text{[math]}$ ．

（1）试确定反比例函数的关系式；

（2）请用无刻度的直尺和圆规作出点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ （要求：不写作法，保留作图痕迹）；

（3）点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与（2）中的点 $\text{[math]}$ ，组成四边形 $\text{[math]}$ ．求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形。

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24. 如图，正比例函数 $\text{[math]}$ 与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的纵坐标为 $\text{[math]}$ ．

（1）求反比例函数的表达式．

（2）观察图象，直接写出不等式 $\text{[math]}$ 的解集．

（3）将直线 $\text{[math]}$ 向上平移 $\text{[math]}$ 个单位，交双曲线于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，交坐标轴于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的表达式．

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25. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数 $\text{[math]}$ （k＜0）的图象交于第二、四象限内的A ， B两点，与x轴交于C点，过点A作AD⊥y轴，垂足为点D ， OD＝3， $\text{[math]}$ ，点B的坐标为（c ， ﹣2）．

（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；

（2）根据图象直接写出使ax+b＜ $\text{[math]}$ 成立的x的取值范围；

（3）形如x²﹣a＞0（a为常数，a＞0）的解集为：x＞ $\text{[math]}$ 或x＜﹣ $\text{[math]}$ ，过点M（6，0）作垂直于x轴的直线MN ，直线y＝x+n与双曲线y＝ $\text{[math]}$ （k＜0）交于点P（x₁ ， y₁），Q（x₂ ， y₂），与直线MN交于点R（x₃ ， y₃），若y₁＜y₂＜y₃时，求n的取值范围．

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26. 如图①， $\text{[math]}$ ，反比例函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的图像分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交y轴于点P ， $\text{[math]}$ 轴．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）如图②，将 $\text{[math]}$ 绕点O旋转，射线 $\text{[math]}$ 始终在第一象限，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交y轴于点 $\text{[math]}$ ，在旋转的过程中， $\text{[math]}$ 的大小是否发生变化？若不变化，求出 $\text{[math]}$ 的值；若变化，请说明理由；

（3）在（2）的旋转过程中，当点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点时， $\text{[math]}$ 所在的直线与 $\text{[math]}$ 的有几个公共点，求出公共点的坐标．

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27. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，已知经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的直线的表达式为 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的函数表达式及其顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（2）如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，其中 $\text{[math]}$ ，作直线 $\text{[math]}$ 轴，交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，交抛物线于 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 轴，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形．设矩形 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式，并求 $\text{[math]}$ 为何值时周长 $\text{[math]}$ 最大；

（3）如图 $\text{[math]}$ ，在抛物线的对称轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 构成的三角形是以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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28. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是实数．

（1）已知三个点 $\text{[math]}$ ，其中有一个点是抛物线的顶点，请选出该点并求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴正半轴），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，抛物线的顶点的记为 $\text{[math]}$ ，
①若点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 之间的抛物线上运动（不与点 $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．记 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
②过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

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29. 阅读材料：
在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为： $\text{[math]}$ .

例如：求点P₀（0，0）到直线4x+3y-3=0的距离.

解：由直线4x+3y-3=0知，A=4，B=3，C=-3，

∴点P₀（0，0）到直线4x+3y-3=0的距离为 $\text{[math]}$

根据以上材料，解决下列问题：

（1）问题1：点P₁（3，4）到直线 $\text{[math]}$ 的距离为；

（2）问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线 $\text{[math]}$ b相切，求实数b的值；

（3）问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S_△ABP的最大值和最小值.

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30. 【探究函数 $\text{[math]}$ 的图象与性质】

（1）函数 $\text{[math]}$ 的自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围是；

（2）下列四个函数图象中函数 $\text{[math]}$ 的图象大致是（）；

A . B . C . D .

（3）对于函数 $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ ＞0时， $\text{[math]}$ 的取值范围.
请将下列的求解过程补充完整.

解：∵ $\text{[math]}$ ＞0

∴ $\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ ≥

（4）【拓展运用】
若函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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31. 某班“数学兴趣小组”对函数 $\text{[math]}$ 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
x
…
﹣3
﹣ $\text{[math]}$
﹣2
﹣1
0
1
2
$\text{[math]}$
3
…
y
…
﹣2
﹣ $\text{[math]}$
m
2
1
2
1
﹣ $\text{[math]}$
﹣2
…

（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如上：其中m＝．

（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点连线，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．

（3）观察函数图象，写出一条函数的性质．

（4）进一步探究函数图象发现：
①方程 $\text{[math]}$ 有个实数根；
②关于x的方程 $\text{[math]}$ 有4个实数根时，a的取值范围是．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

五、实践探究题

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$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

x	…	﹣3	﹣ $\text{[math]}$	﹣2	﹣1	0	1	2	$\text{[math]}$	3	…
y	…	﹣2	﹣ $\text{[math]}$	m	2	1	2	1	﹣ $\text{[math]}$	﹣2	…

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