备考2024年中考数学核心素养专题十七三角形的动态几何问题

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿着 $\text{[math]}$ 匀速向终点 $\text{[math]}$ 运动，则线段 $\text{[math]}$ 的值大小变化情况是（）

A . 一直增大 B . 一直减小 C . 先减小后增大 D . 先增大后减少

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2. 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D是 $\text{[math]}$ 边的中点，点E、F分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边上运动，且保持 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 得到下列结论：① $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形；② $\text{[math]}$ 面积的最大值是2；③ $\text{[math]}$ 的最小值是2．其中正确的结论是（）

A . ②③ B . ①② C . ①③ D . ①②③

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3. 如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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4. 如图所示，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一个动点，以 $\text{[math]}$ 为直角顶点向下作等腰 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图，点 $\text{[math]}$ 是等边三角形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，并绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．若运动过程中 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长为（）．

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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6. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， Q是 $\text{[math]}$ 上一动点，过点Q作 $\text{[math]}$ 于M， $\text{[math]}$ 于N， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是（）

A . 定值 $\text{[math]}$ B . 定值 $\text{[math]}$ C . 不确定 D . 定值 $\text{[math]}$

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7. 如图，已知线段 $\text{[math]}$ ，点P为线段 $\text{[math]}$ 上一动点，以 $\text{[math]}$ 为边作等边 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直角边， $\text{[math]}$ 为直角，在 $\text{[math]}$ 同侧构造 $\text{[math]}$ ，点M为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，则AM的最小值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 6

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8. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 下方的一动点，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 长的最小值是（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将 $\text{[math]}$ 在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）

A . B . C . D .

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10. 如图，在Rt $\text{[math]}$ ABC中，AB=AC=10，∠BAC=90°，等腰直角三角形ADE绕点A旋转，∠DAE=90°，AD=AE=4，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MP、PN、MN．① $\text{[math]}$ PMN为等腰直角三角形；② $\text{[math]}$ ；③△PMV面积的最大值是 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ PMN周长的最小值为 $\text{[math]}$ ．正确的结论有（）

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

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11. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的高，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 运动 $\text{[math]}$ 设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，运动时间为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

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12. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，则AE的最小值是，此时CD的长为．

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13. 在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=2 $\text{[math]}$ ，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值= .

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14. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则当点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 的运动路径长为．

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15. 如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，斜边AC＝4，点P是三角形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是．

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16. 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，如果点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称的点 $\text{[math]}$ 恰好落在线段 $\text{[math]}$ 上，那么 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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17. 有一根长方形直尺宽为4cm，长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角板，它的斜边长为16cm，如图，将直尺的宽DE与直角三角板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿射线AB方向平移，设平移的长度为xcm，且直尺和三角板重叠部分的面积为Scm² ，

（1）当直角顶点C落在直尺的长上时，x=cm；

（2）当0＜x＜12时，求S与x之间的函数关系式；

（3）是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm²？若存在直接写出x的值，若不存在，请说明理由。

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18. 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿折线 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 同时出发，当其中一点到达点 $\text{[math]}$ 时停止运动，另一点也随之停止 $\text{[math]}$ 设点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 运动的时间是 $\text{[math]}$ 秒 $\text{[math]}$ ．

（1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

（2）当点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合时，求出 $\text{[math]}$ 的长．

（3）点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ 的面积能否是 $\text{[math]}$ 面积的一半？若能，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不能，请说明理由．

（4）当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的一边平行时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

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19. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上运动，点 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 的对称点为点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 上方作正方形 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ .

（1） $\text{[math]}$ 的长为.

（2）求线段 $\text{[math]}$ 的长.（用含x的代数式表示）

（3）当正方形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的图形为四边形时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

（4）连结 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 所在直线将正方形 $\text{[math]}$ 的面积分成1：2两部分时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

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20. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 个单位的速度向终点 $\text{[math]}$ 运动 $\text{[math]}$ 连结 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 始终在直线 $\text{[math]}$ 的同侧 $\text{[math]}$ 设运动的时间为 $\text{[math]}$ 秒 $\text{[math]}$

（1）当点 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 运动时，求 $\text{[math]}$ 的长 $\text{[math]}$ 用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ．

（2）当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上时，求 $\text{[math]}$ 的值．

（3）连结 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与平行四边形 $\text{[math]}$ 的边平行时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

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21. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，其中点 $\text{[math]}$ 的对应点分别为点 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 的延长线上时，则 $\text{[math]}$ 的长为；

（2）如图2，当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 的延长线上时，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

（3）如图3，连接 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若E为AC的中点，连接 $\text{[math]}$ ．在旋转过程中， $\text{[math]}$ 是否存在最小值？若存在，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

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22. 如图甲，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，动点P从点B出发，沿BA方向向点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1个单位/s，连接PQ ．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：

（1）设△APQ的面积为S ，则S＝；（用含t的代数式表示）

（2）如图乙，连接PC ，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP’C ，当四边形PQP’C为菱形时，求t的值；

（3）当△APQ是等腰三角形时，求t的值？

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23. 如图 $\text{[math]}$ ，在坐标系中的 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求直线 $\text{[math]}$ 的表达式；

（2）如图 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点都在 $\text{[math]}$ 的边上，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将矩形 $\text{[math]}$ 沿射线 $\text{[math]}$ 向右平移，设矩形移动的距离为 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出平移距离 $\text{[math]}$ 的值；

（3）如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的条件下，在矩形 $\text{[math]}$ 平移过程中，当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上时停止平移，再将矩形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转，当点 $\text{[math]}$ 落在直线 $\text{[math]}$ 上时，此时矩形记作 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 轴作垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，请计算 $\text{[math]}$ 的值．

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24. 已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的坐标分别为A(-3，0)．C(1，0)， $\text{[math]}$

（1）求过点A、B的直线的函数解析式；

（2）在x轴上找一点D，连按DB，使得△ADB与△ABC相似，并求点D的坐标；

（3）在⑵的条件下，P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似？如存在，请直接写出m的值：如不存在，请说明理由．

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25. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度向终点 $\text{[math]}$ 运动，当点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．

（1）线段 $\text{[math]}$ 的长为； $\text{[math]}$ 用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$

（2）当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上时，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）当直线 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 的面积分成 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的两部分时，求 $\text{[math]}$ 的值；

（4）当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 的角平分线上时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

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26. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上高为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿折线 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动，在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的速度分别为每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度和每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度 $\text{[math]}$ 当点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合时，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为邻边作▱ $\text{[math]}$ 设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒，t＞0

（1） ①线段 $\text{[math]}$ 的长为； $\text{[math]}$ 用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示线段 $\text{[math]}$ 的长；

（2）当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（3）当▱ $\text{[math]}$ 是菱形时，求 $\text{[math]}$ 的值；

（4）作点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

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27.
如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿折线 $\text{[math]}$ 向终点 $\text{[math]}$ 运动，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度运动，在 $\text{[math]}$ 边上以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度运动，在点 $\text{[math]}$ 运动的过程中，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线，两条平行线相交于点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 重合，设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．
.

（1） CB= ．

（2）用含 $\text{[math]}$ 的代数式直接表示 $\text{[math]}$ 的长．

（3）当四边形 $\text{[math]}$ 是轴对称图形时，求出 $\text{[math]}$ 的值．

（4）连接 $\text{[math]}$ ，如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 的面积分成 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 两部分时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

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28. 【命题】在直角三角形中，如果一个锐角等于 $\text{[math]}$ ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【证明】如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．
方法一：如图 $\text{[math]}$ ，作斜边 $\text{[math]}$ 上的中线 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 是    ▲        三角形．
$\text{[math]}$ ．
方法二：如图 $\text{[math]}$ ，作点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 是等边三角形．
$\text{[math]}$     ▲         ．
$\text{[math]}$ ．

（1）阅读上面两种不完整的证明方法后，请补全证明过程．

（2）【应用】如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点．
①若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到边 $\text{[math]}$ 的距离为    ▲         ．
②若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到边 $\text{[math]}$ 的距离．

（3）【延伸】如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值．

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29. 回答下列问题：

（1）如图1，AB＝BC，当∠ABC＝90°时，将△PAB绕B点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．

（2）在（1）中，若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大小．

（3）如图2，∠ABC＝60°，AB＝BC，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则△APC面积是．

（4）如图3，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC，点P在△ABC内，且PA＝ $\text{[math]}$ ， PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积．

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30. 在等腰△ABC中，AC＝BC ， $\text{[math]}$ 是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝ $\text{[math]}$ ∠ACB ，连接BD ， BE ，点F是BD的中点，连接CF ．

（1）当∠CAB＝45°时．
①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是 ▲ ．线段BE与线段CF的数量关系是 ▲ ；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM ，并取BE的中点N ，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G ，连接AG ， CG ，并把 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．

（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．

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31. 如图 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等腰直角三角形，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．

（1）观察猜想：
如图 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 的延长线恰好经过点 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，此时，
$\text{[math]}$ 的值为；
$\text{[math]}$ 的度数为度；

（2）类比探究：
如图 $\text{[math]}$ ，继续旋转 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由．

（3）拓展延伸：
若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 所在的直线垂直于 $\text{[math]}$ 时，请你直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长．

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32. 如图

（1）【探究发现】如图1，正方形 $\text{[math]}$ 的对角线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一点，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．学习小队发现，不论点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上运动过程中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 恒全等，请你证明这个结论；

（2）【类比迁移】如图2，矩形 $\text{[math]}$ 的对角线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上一点，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 的延长线上，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）【拓展提升】如图3，等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一点，以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 的上方作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

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