解：

①

当点

H_{1}

在线段

C D

上时，如图

7

，

设 $D Q = t$ ，则 $H_{1} Q = \sqrt{3} t$ ，

$∵ D G = 1$ ， $H_{1} G = 2$ ，

$∴ G Q = t + 1$ ，

在 $R t △ H_{1} Q G$ 中，根据勾股定理得， $H_{1} Q^{2} + G Q^{2} = H_{1} G^{2}$ ，

$∴ 3 t^{2} + (t + 1)^{2} = 4$ ，

解之得 $t = \frac{\sqrt{13} - 1}{4} ($ 负的舍去 $)$ ，

$∴ Q G = 1 + \frac{\sqrt{13} - 1}{4} = \frac{\sqrt{13} + 3}{4}$ ， $H_{1} Q = \sqrt{3} t = \frac{\sqrt{39} - \sqrt{3}}{4}$ ，

$∴ \frac{H_{1} Q}{H_{1} G} = \frac{\frac{\sqrt{39} - \sqrt{3}}{4}}{2} = \frac{\sqrt{39} - \sqrt{3}}{8}$ ．

$②$ 当点 $H_{1}$ 在 $C D$ 的延长线上时，如图 $8$ ，

设 $G Q = n$ ，

$∴ D Q = n + 1$ ，

$∴ H_{1} Q = \sqrt{3} (n + 1)$ ，

在 $R t △ H_{1} Q G$ 中，根据勾股定理得， $H_{1} Q^{2} + G Q^{2} = H_{1} G^{2}$ ，

$∴ [\sqrt{3} (n + 1)]^{2} + n^{2} = 4$ ，

解之得 $n = \frac{\sqrt{13} - 3}{4} ($ 负的舍去 $)$ ，

$∴ Q G = \sqrt{3} (n + 1) = \frac{\sqrt{39} + \sqrt{3}}{4}$ ，

$∴ \frac{H_{1} Q}{H_{1} G} = \frac{\frac{\sqrt{39} + \sqrt{3}}{4}}{2} = \frac{\sqrt{39} + \sqrt{3}}{8}$ ．

故答案为： $\frac{\sqrt{39} - \sqrt{3}}{8}$ 或 $\frac{\sqrt{39} + \sqrt{3}}{8}$ ．

备考2024年中考数学核心素养专题十七 三角形的动态几何问题

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