2013年春季高考理数真题试卷（上海卷）

修改时间：2021-05-20 浏览次数：776 类型：高考真卷编辑

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一、填空题

1. 函数y=log₂（x+2）的定义域是．

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2. 方程2^x=8的解是．

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3. 抛物线y²=8x的准线方程是．

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4. 函数y=2sinx的最小正周期是．

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5. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则实数k=．

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6. 函数y=4sinx+3cosx的最大值是．

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7. 复数2+3i（i是虚数单位）的模是．

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8. 在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=．

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9. 正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，异面直线A₁B与B₁C所成角的大小为．

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10. 从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．

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11. 若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和S_n=．

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12. 36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=2²×3² ，所以36的所有正约数之和为（1+3+3²）+（2+2×3+2×3²）+（2²+2²×3+2²×3²）=（1+2+2²）（1+3+3²）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为．

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二、选择题本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．

13. 展开式为ad﹣bc的行列式是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. 设f^﹣¹（x）为函数f（x）= $\text{[math]}$ 的反函数，下列结论正确的是（）

A . f^﹣¹（2）=2 B . f^﹣¹（2）=4 C . f^﹣¹（4）=2 D . f^﹣¹（4）=4

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15. 直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（）

A . （2，﹣3） B . （2，3） C . （﹣3，2） D . （3，2）

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16. 函数f（x）= $\text{[math]}$ 的大致图象是（）

A . B . C . D .

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17. 如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . ab＜b² C . ﹣ab＜﹣a² D . $\text{[math]}$

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18. 若复数z₁ ， z₂满足z₁= $\text{[math]}$ ，则z₁ ， z₂在复数平面上对应的点Z₁ ， Z₂（）

A . 关于x轴对称 B . 关于y轴对称 C . 关于原点对称 D . 关于直线y=x对称

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19. （1+x）¹⁰的二项展开式中的一项是（）

A . 45x B . 90x² C . 120x³ D . 252x⁴

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20. 既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（）

A . y=sinx B . y=cosx C . y=sin2x D . y=cos2x

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21. 若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）

A . 1：2 B . 1：4 C . 1：8 D . 1：16

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22. 设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（）

A . Z∪∁_UN B . N∩∁_UN C . ∁_U（∁_u∅） D . ∁_U{0}

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23. 已知a，b，c∈R，“b²﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax²+bx+c的图象恒在x轴上方”的（）

A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C . 充要条件 D . 既非充分又非必要条件

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24. 已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）

A . 圆 B . 椭圆 C . 双曲线 D . 抛物线

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三、解答题，本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

25. 如图，在正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁=6，异面直线BC₁与AA₁所成角的大小为 $\text{[math]}$ ，求该三棱柱的体积．

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26. 如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．

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27. 已知数列{a_n}的前n项和为 $\text{[math]}$ ，数列{b_n}满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．

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28. 已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（﹣1，0）、F₂（1，0），短轴的两个端点分别为B₁ ， B₂

（1）若△F₁B₁B₂为等边三角形，求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F₂的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且 $\text{[math]}$ ，求直线l的方程．

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29. 已知抛物线C：y²=4x 的焦点为F．

（1）点A，P满足 $\text{[math]}$ ．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；

（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

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30. 在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P_n在x轴上，其横坐标为x_n ，且{x_n} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P_nAP_n+1=θ_n ， n∈N^* ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求点A的坐标；

（2）若点A的坐标为（0，8 $\text{[math]}$ ），求θ_n的最大值及相应n的值．

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31. 已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．

（1）将函数g（x）=x³﹣3x²的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；

（2）求函数h（x）= $\text{[math]}$ 图象对称中心的坐标；

（3）已知命题：“函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．

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2013年春季高考理数真题试卷（上海卷）

一、填空题

二、选择题本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．

三、解答题，本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

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