2017年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）

修改时间：2024-07-12 浏览次数：1087 类型：高考模拟编辑

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一、选择题

1. 已知集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）

A . {﹣1} B . {1，2} C . {0，3} D . {﹣1，1，2，3}

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2. 已知i是虚数单位，复数i•z=1﹣2i，则复数z在复平面内对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 已知平面向量 $\text{[math]}$ =（3，4）， $\text{[math]}$ =（x， $\text{[math]}$ ），若 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，则实数x为（）

A . ﹣ $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . ﹣ $\text{[math]}$

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4. 命题p：“∀x∈N₊ ，（ $\text{[math]}$ ）^x≤ $\text{[math]}$ ”的否定为（）

A . ∀x∈N₊ ，（ $\text{[math]}$ ）^x＞ $\text{[math]}$ B . ∀x∉N₊ ，（ $\text{[math]}$ ）^x＞ $\text{[math]}$ C . ∃x∉N₊ ，（ $\text{[math]}$ ）^x＞ $\text{[math]}$ D . ∃x∈N₊ ，（ $\text{[math]}$ ）^x＞ $\text{[math]}$

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5. 已知直线l：y=k（x+ $\text{[math]}$ ）和圆C：x²+（y﹣1）²=1，若直线l与圆C相切，则k=（）

A . 0 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或0 D . $\text{[math]}$ 或0

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6. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）

A . 36+6 $\text{[math]}$ B . 36+3 $\text{[math]}$ C . 54 D . 27

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7. 将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）

A . 21 B . 22 C . 23 D . 24

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9. 将函数f（x）=2sin（ωx+ $\text{[math]}$ ）（ω＞0）的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上为增函数，则ω的最大值为（）

A . 3 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=1，BC= $\text{[math]}$ ，若球O的表面积为4π，则SA=（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知双曲线C： $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F₁ ， F₂的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|﹣|BN|=12，则a=（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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12. 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ ，则函数F（x）=f[f（x）]﹣2f（x）﹣ $\text{[math]}$ 的零点个数是（）

A . 4 B . 5 C . 6 D . 7

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二、填空题

13. 二项式（x+ $\text{[math]}$ ）⁶的展开式中的常数项为．

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14. 若实数x，y满足不等式组 $\text{[math]}$ ，则目标函数z=3x﹣y的最大值为．

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15. 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4S=a²﹣（b﹣c）² ， b+c=8，则S的最大值为．

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16. 设函数f（x）=g（ $\text{[math]}$ ）+x² ，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为9x+y﹣1=0，则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，首项a₁=1，且a₁ ， a₂ ， a₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=a_n+2 $\text{[math]}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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18. 为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50各学生进行调查，得到如下2×2列联表：（单位：人）．
报考“经济类”
不报“经济类”
合计
男
6
24
30
女
14
6
20
合计
20
30
50
（Ⅰ）据此样本，能否有99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？
（Ⅱ）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生（人数众多）中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布及数学期望．
附：参考数据：
P（X²≥k）
0.05
0.010
k
3.841
6.635
（参考公式：X²= $\text{[math]}$ ）

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19. 在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=AB=BC=2，且点O为AC中点．
（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A﹣A₁B﹣C₁的大小．

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20. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的左焦点为F₁（﹣ $\text{[math]}$ ，0），e= $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，设R（x₀ ， y₀）是椭圆C上一动点，由原点O向圆（x﹣x₀）²+（y﹣y₀）²=4引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k₁ ， k₂ ，求证：k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问OP²+OQ²是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

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21. 已知函数f（x）=e^x﹣1﹣x﹣ax² ．
（Ⅰ）当a=0时，求证：f（x）≥0；
（Ⅱ）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若x＞0，证明（e^x﹣1）ln（x+1）＞x² ．

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22. 以直角坐标系xOy中，直线l：y=x，圆C： $\text{[math]}$ （φ为参数），以坐标原点为为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l与圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C的交点为M，N，求△CMN的面积．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣a|﹣ $\text{[math]}$ x，（a＞0）．
（Ⅰ）若a=3，解关于x的不等式f（x）＜0；
（Ⅱ）若对于任意的实数x，不等式f（x）﹣f（x+a）＜a²+ $\text{[math]}$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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	报考“经济类”	不报“经济类”	合计
男	6	24	30
女	14	6	20
合计	20	30	50

P（X²≥k）	0.05	0.010
k	3.841	6.635

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