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题型：综合题题类：模拟题难易度：困难

江苏省南通田家炳中学教育联合体2021年数学中考二模试卷

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点Ｍ的坐标为 $\text{[math]}$ ，点Ｎ的坐标为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“标准矩形”，如图为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“标准矩形”示意图.

（1）、已知点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，

①点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 图象上第一象限内的一点，且点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“标准矩形”的两邻边长的比为1∶2，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

②点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“标准矩形”为正方形，求直线 $\text{[math]}$ 的表达式；

（2）、 $\text{[math]}$ 的半径为2，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，若在 $\text{[math]}$ 上存在一点 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“标准矩形”为正方形，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围.

举一反三

如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．

（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；

（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF= $\text{[math]}$ ∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．

如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．

已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在射线AB、射线BC上，AE=BF，DE与AF交于点O.

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（1， $\text{[math]}$ ）．

已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于另一点 $\text{[math]}$ ．

图 1 是一张矩形折纸，其中图形①、③、⑤分别与图形②、④、⑥关于 $\text{[math]}$ 所在的直线成轴对称，现沿着虚线剪开，部分剪纸拼成不重叠、无缝隙的正方形 (如图 2)．若正方形边长为 9 ，图 2 中所标注的 $\text{[math]}$ 的值为 $\text{[math]}$ 的值为整数，求图 1 中矩形的长和宽．

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