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题型：证明题题类：常考题难易度：普通

广西壮族自治区河池市宜州区2020-2021学年八年级上学期数学期末考试试卷

如图，已知， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

求证： $\text{[math]}$ .

举一反三

如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，E、F分别为垂足，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求AP的长.

如图，正方形ABCD中， $\text{[math]}$ ， E ， F分别是AB ， BC的中点，连结DE ， AF交于点M ，则MF的长度是（）

（1）如图1，已知： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 在同一直线上，连接 $\text{[math]}$ ，和边 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，和 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

（2）在（1）的条件下，如图2，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转一定的角度 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

① $\text{[math]}$ ________°；

②猜想线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明）

（3）如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 外一点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和边 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

如图，在某次军事演习中，舰艇1号在指挥中心（O处）北偏西 $\text{[math]}$ 的A处，舰艇2号在指挥中心南偏东 $\text{[math]}$ 的B处，并且 $\text{[math]}$ ．接到行动指令后，舰艇1号向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇2号沿北偏东 $\text{[math]}$ 的方向以m海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达点E，F处，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 海里，则m的值为{#blank#}1{#/blank#}．

阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

如图①，在等边 $\text{[math]}$ 中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是 $\text{[math]}$ 的外角 $\text{[math]}$ 的平分线上一点，且 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线 $\text{[math]}$ 的异侧， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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