新定义型—广东省（人教版）数学七（上）期末复习

1. 有一种新运算，规定了 $\text{[math]}$ ，小王按规定的法则计算 $\text{[math]}$ 结果是正确的．请你计算 $\text{[math]}$ ．

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2. 我们记一对有理数a，b为数对 $\text{[math]}$ ．如果数对 $\text{[math]}$ 使等式 $\text{[math]}$ 成立，则称之为“有趣数对”．

（1）如果数对 $\text{[math]}$ 是“有趣数对”，那么 $\text{[math]}$ 是“有趣数对”吗？请说明理由；

（2）如果数对 $\text{[math]}$ 是“有趣数对”，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）如果a和b互为相反数，那么 $\text{[math]}$ 是“有趣数对”吗？请说明理由．

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3. 对于有理数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的“美好关联数”为 $\text{[math]}$ ，例如， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的“美好关联数”为 $\text{[math]}$ ．

（1） $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的“美好关联数”为；、

（2）若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的“美好关联数”为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的“美好关联数”为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的“美好关联数”为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的“美好关联数”为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的“美好关联数”为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 的最小值为；
$\text{[math]}$ 的最小值为．

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4. 【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于 $\text{[math]}$ 这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把 $\text{[math]}$ 记作 $\text{[math]}$ ，读作“ $\text{[math]}$ 的4次商”．
【概念归纳】一般地，我们把 $\text{[math]}$ 个 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）相除记作 $\text{[math]}$ ，读作“ $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 次商”

（1）【概念理解】直接写出结果： $\text{[math]}$ ．

（2）关于除方，下列说法正确的是：（填序号）
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；
④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数

（3）【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：
$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．

（4）计算： $\text{[math]}$ ．

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5. 定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题．
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
请你想一想：

（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2）已知 $\text{[math]}$ ，求m的值；

（3）判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系，并说明理由．

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6. 定义新运算：求若干个相同的有理数 $\text{[math]}$ 的除法运算叫做除方． $\text{[math]}$ 记作 $\text{[math]}$ ，比如把 $\text{[math]}$ 记作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 记作 $\text{[math]}$ ．特别地，规定 $\text{[math]}$ ．

（1）根据除方的定义， $\text{[math]}$ 可记作；

（2）直接写出计算结果： $\text{[math]}$ ；

（3）计算： $\text{[math]}$ ；

（4）对于有理数 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

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7. 我们将 $\text{[math]}$ 这样子的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是 $\text{[math]}$ =ad-bc，例如 $\text{[math]}$ ．

（1）请你依此法则计算二阶行列式 $\text{[math]}$ ．

（2）请化简二阶行列式 $\text{[math]}$ ，并求当x＝4时二阶行列式的值．

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8. 观察下列三个等式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，我们称使等式 $\text{[math]}$ 成立的一对有理数 $\text{[math]}$ 为“友好数对”，记为 $\text{[math]}$ ，例如数对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是“友好数对”，请回答下列问题：

（1）数对 $\text{[math]}$ 是“友好数对”吗？试说明理由，

（2）若数对 $\text{[math]}$ 是“友好数对”，求 $\text{[math]}$ 的值，

（3）若数对 $\text{[math]}$ 是“友好数对”，求 $\text{[math]}$ 的值．

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9. 用“ $\text{[math]}$ ”定义一种新运算：对于任意有理数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ ．
如： $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

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10. 对正整数a，b规定运算★如下： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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11. 观察下列三个等式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，我们称使等式 $\text{[math]}$ 成立的一对有理数a，b为“有趣数对”，记为 $\text{[math]}$ ，例如数对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是“有趣数对”，请回答下列问题：

（1）数对 $\text{[math]}$ 是“有趣数对”吗？试说明理由．

（2）若 $\text{[math]}$ 是“有趣数对”，求 $\text{[math]}$ 的值．

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12. 一般情况下 $\text{[math]}$ 不成立，但有些数可以使得它成立，例如a=b=0．我们称使得 $\text{[math]}$ 成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）．

（1）若（1，b）是“相伴数对”，求b的值.

（2）若（m，n）是“相伴数对”，求整式26m+4n-2（4m-2n）+5的值．

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13. 对于两个有理数m，n，定义一种新的运算“@”如下： $\text{[math]}$ ．根据以上规定解答下列各题：

（1）计算： $\text{[math]}$ 的值；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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14. 一般情况下 $\text{[math]}$ 不成立，但有些数可以使得它成立，例如： $\text{[math]}$ 等，我们称使得 $\text{[math]}$ 成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）

（1）若 $\text{[math]}$ 是“相伴数对”，求b的值；

（2）写两个“相伴数对” $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ；

（3）若 $\text{[math]}$ 是“相伴数对”，求代数式 $\text{[math]}$ 的值．

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15. 定义一种新的运算，观察下列各式：
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）根据你观察到的规律，计算 $\text{[math]}$ ；

（2）请你用代数式表示 $\text{[math]}$ 的结果；

（3）若 $\text{[math]}$ ，请计算 $\text{[math]}$ 的值．

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16. 阅读下面方框内的材料，解答相应的问题：

对称式：

一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为 $\text{[math]}$ 时，式子的值都不变，这样的式子叫做对称式 $\text{[math]}$ 例如：式子 $\text{[math]}$ 中任意两个字母交换位置，可得到式子 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 是对称式 $\text{[math]}$ 而式子 $\text{[math]}$ 中字母 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交换位置，得到式子 $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 不是对称式．

问题：

（1）给出下列式子： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中是对称式的是______ $\text{[math]}$ 填序号即可 $\text{[math]}$ ；

（2） $\text{[math]}$ 写出一个系数为 $\text{[math]}$ ，只含有字母 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且次数为 $\text{[math]}$ 的单项式，使该单项式是对称式；

$\text{[math]}$ 写出一个只含有字母 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的三次三项式，使该多项式是对称式；

（3）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ，并直接判断所得结果是否是对称式．

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17. 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定 $\text{[math]}$ ，如： $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求a的值；

（3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中x为有理数），试比较 $\text{[math]}$ 与n的大小．

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18. 综合探究：
整体思想是一种重要的数学思想方法，其思维方式是根据问题的结构特征，把一组数，一个代数式或几个图形视为一个整体，去观察，分析，解决问题的一种方法．这样做，不仅简化解题过程，提高思维能力，还往往可以解决按常方法解决不了的一些问题．
如：代数式 $\text{[math]}$ 的化简问题．若把 $\text{[math]}$ 看成一个整体，
则： $\text{[math]}$ ．
这就是数学解题中的“整体思想”．
请运用上面的“整体思想”解决下列问题：

（1）尝试应用：化简 $\text{[math]}$

（2）拓展运用：如图1，点O是线段 $\text{[math]}$ 上一点，C、D分别是线段 $\text{[math]}$ 的中点，当 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 的长度．

（3）迁移运用：如图2，长方形纸片 $\text{[math]}$ ，点E ， F分别是边 $\text{[math]}$ 上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 对折，点B落在直线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，得折痕 $\text{[math]}$ ；将 $\text{[math]}$ 对折，点A落在直线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，得折痕 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的度数会随着折痕的变化而变化吗？说明你的理由．

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19. 定义：若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的关联数.例如：若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是关于2的关联数；若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是关于4的关联数，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . 0 B . 1 C . 8 D . 2

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20. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为 $\text{[math]}$ ，我们就称这两个方程互为“阳光方程” $\text{[math]}$ 例如： $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ，所以这两个方程互为“阳光方程”．

（1）若关于 $\text{[math]}$ 的一元一次方程 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是“阳光方程”，则 $\text{[math]}$ ．

（2）已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为 $\text{[math]}$ 若其中一个方程的解为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

（3） $\text{[math]}$ 已知关于 $\text{[math]}$ 的一元一次方程 $\text{[math]}$ 的解是 $\text{[math]}$ ，请写出解是 $\text{[math]}$ 的关于 $\text{[math]}$ 的一元一次方程： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 只需要补充含有 $\text{[math]}$ 的代数式 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 若关于 $\text{[math]}$ 的一元一次方程 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 互为“阳光方程”，则关于 $\text{[math]}$ 的一元一次方程 $\text{[math]}$ 的解为．

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21. 定义：关于x的方程 $\text{[math]}$ 与方程 $\text{[math]}$ （a ， b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程 $\text{[math]}$ 与方程 $\text{[math]}$ 互为“反对方程”．

（1）若关于x的方程 $\text{[math]}$ 与方程 $\text{[math]}$ 互为“反对方程”，则 $\text{[math]}$ ．

（2）若关于x的方程 $\text{[math]}$ 与其“反对方程”的解都是整数，求整数d的值．

（3）已知关于x的一元一次方程 $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ，那么关于y的一元一次方程 $\text{[math]}$ 的解为．（请直接写出答案）

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22. 定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为“集团方程”．

（1）若关于x的方程 $\text{[math]}$ 与方程 $\text{[math]}$ 是“集团方程”，求m的值；

（2）若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n ，求n的值；

（3）若关于x的一元一次方程 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是“集团方程”，求关于y的一元一次方程 $\text{[math]}$ 的解．

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23. 新定义：如果 $\text{[math]}$ 的内部有一条射线 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的n倍分线，例如，如图1， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的4倍分线． $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 也是 $\text{[math]}$ 的4倍分线．

（1）应用：若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的二倍分线，且 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ °；

（2）如图2，点A ， O ， B在同一条直线上 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上方的一条射线．
①若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的三倍分线，（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）已知， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ _▲_°；
②在①的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
③如图3，已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在射线恰好是分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的三倍分线，请直接写出 $\text{[math]}$ 的度数．

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新定义型—广东省（人教版）数学七（上）期末复习

一、有理数

二、代数式

三、一元一次方程

四、几何图形初步

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