2023年浙教版数学八年级下册第二章一元二次方程（进阶版）

1. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是4，一次项系数是-7，常数项是2的方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 用直接开平方法解方程 $\text{[math]}$ 时，可以将其转化为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，其依据的数学知识是（）

A . 完全平方公式 B . 平方根的意义 C . 等式的性质 D . 一元二次方程的求根公式

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3. 已知方程 $\text{[math]}$ ，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成 $\text{[math]}$ 的形式，则印刷不清楚的数字是（）

A . 6 B . 9 C . 2 D . -2

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4. 在应用一元二次方程解决问题时，老师展示出一张图片如图所示，在矩形纸片上截去两个同样大小的圆，要求使两圆的面积和是剩余面积的一半，已知矩形的长和宽分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，圆的半径为 $\text{[math]}$ ，根据题意列方程为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（）．

A . 1可能是方程 $\text{[math]}$ 的根 B . $\text{[math]}$ 可能是方程 $\text{[math]}$ 的根 C . 0可能是方程 $\text{[math]}$ 的根 D . 1和-1都是方程 $\text{[math]}$ 的根

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6. 已知关于x的方程 $\text{[math]}$ 的两实数根为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则m的值为（）

A . ﹣3 B . ﹣1 C . ﹣3或1 D . ﹣1或3

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7. 对于两个不相等的实数 $\text{[math]}$ ，我们规定符号 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 中较大的数，如 $\text{[math]}$ ，按这个规定，方程 $\text{[math]}$ 的解为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或-1

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8. 如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1．若AC=5，则EF的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 直线 $\text{[math]}$ 不经过第二象限，则关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的解的情况是（）

A . 无法确定 B . 无实数根 C . 两个相等的实根 D . 两个不相等的实根

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10. 下列说法：
$\text{[math]}$ 若一元二次方程 $\text{[math]}$ 有一个根是 $\text{[math]}$ ，则代数式 $\text{[math]}$ 的值是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是一元二次方程 $\text{[math]}$ 的一个根 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则一元二次方程 $\text{[math]}$ 有不相等的两个实数根 $\text{[math]}$ 当m取整数 $\text{[math]}$ 或1时，关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的解都是整数.其中正确的有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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11. 关于x的方程mx²+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：
①当m＝0时，方程只有一个实数解；
②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；
③无论m取何值，方程都有一个负数解．
其中正确的是（填序号）．

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12. 等腰三角形的三边的长是a 、b、4，其中a、b是方程x²-6x+c=0两个根，则此三角形的三边长是．

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13. 餐桌桌面是长为160cm 、宽为100cm 的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面1.4倍，且四周垂下来的桌布宽相等，小强想帮妈妈求出四周垂下来的桌布宽，如果设四周垂下来的桌布宽为xcm，所列方程应为．

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14. 随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为

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15. 商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得 $\text{[math]}$ ，据此可得，最佳利好系数k的值等于．

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16. 已知关于x的方程 $\text{[math]}$ ，其中p、q都是实数.若方程有三个不同的实数根 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则q的值为.

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17. 解下列方程

（1） $\text{[math]}$

（2） $\text{[math]}$

（3） $\text{[math]}$

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18. 阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程： $\text{[math]}$ ．

解：分两种情况：

①当 $\text{[math]}$ 时，原方程化为 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （舍去）；

②当 $\text{[math]}$ 时，原方程化为 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （舍去）．

综上所述，原方程的解是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

请参照上述方法解方程 $\text{[math]}$ ．

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19. 直播带货逐渐走进了人们的生活，某电商在APP上对一款成本价为40/件的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每星期可卖出300件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降价 $\text{[math]}$ 元，每星期可多卖出10件，在顾客得实惠的前提下，电商还想获得 $\text{[math]}$ 元利润，每件小商品的售价应定为多少元？这时电商每月能售出小商品多少件？

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20. 关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 经过适当变形，可以写成 $\text{[math]}$ 的形式．现列表探究 $\text{[math]}$ 的变形：

变形	s	t	p
$\text{[math]}$	-1	5	0
$\text{[math]}$	0	4	5
$\text{[math]}$	1	q	8
$\text{[math]}$	2	2	9

回答下列问题：

（1）表格中q的值为．

（2）观察上述探究过程，表格中s与t满足的等量关系为．

（3）记 $\text{[math]}$ 的两个变形为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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21. 定义：若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ ＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），分别以 $\text{[math]}$ 为横坐标和纵坐标得到点M（ $\text{[math]}$ ），则称点M为该一元二次方程的知行点．

（1）若一元二次方程为 $\text{[math]}$ ﹣2x＝0，请直接写出该方程的知行点M的坐标为；

（2）若关于x的一元二次方程为 $\text{[math]}$ ﹣2（m﹣1）x＋ $\text{[math]}$ ﹣2m＝0．
①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的知行点M的坐标；
②直线 $\text{[math]}$ ：y＝x＋5与x轴交于点A，直线 $\text{[math]}$ 过点B（1，0），且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点C（﹣1，4），若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围；

（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程 $\text{[math]}$ ＋bx＋c＝0的知行点M始终在直线y＝kx＋3（2﹣k）的图象上．若有，请直接写出b，c的值；若没有，请说明理由．

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22.

（1）【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排 $\text{[math]}$ 场比赛．
①共有场比赛；
②设比赛组织者应邀请 $\text{[math]}$ 个队参赛，每个队要与其他个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛场，列方程：．

（2）【小试牛刀】
参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了10次，有多少人参加聚会？

（3）【综合运用】
将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ……， $\text{[math]}$ ，共 $\text{[math]}$ 个点每两个点连一条线段共得到 $\text{[math]}$ 条线段，将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ……， $\text{[math]}$ ．共 $\text{[math]}$ 个点每两个点连一条线段共得到 $\text{[math]}$ 条线段，问 $\text{[math]}$ 能否为整数？写出你的结论，并说明理由．

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23.

（1）用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式：
将 $\text{[math]}$ 两边同时乘以 $\text{[math]}$ 并移项，得到 $\text{[math]}$ ，两边再同时加上 $\text{[math]}$ ，得（ ▲ ）² $\text{[math]}$ .请用这样的方法解方程： $\text{[math]}$ ；

（2）华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于 $\text{[math]}$ ，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：
$\text{[math]}$ （从这里可以看出方程的解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

即 $\text{[math]}$

因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的平均数为 $\text{[math]}$ ，不妨设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

利用 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，即能求出 $\text{[math]}$ 的值.

举例如下：解一元二次方程 $\text{[math]}$ ，由于 $\text{[math]}$ ，所以方程的两个根为 $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，所以方程的解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

请运用以上方法解如下方程① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$

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24. 阅读材料：
材料1 若一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x₁ ， x₂则x₁+x₂＝﹣ $\text{[math]}$ ，x₁x₂＝ $\text{[math]}$ .

材料2 已知实数m，n满足m²﹣m﹣1＝0，n²﹣n﹣1＝0，且m≠n，求 $\text{[math]}$ 的值.

解：由题知m，n是方程x²﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以 $\text{[math]}$ ＝﹣3.

根据上述材料解决以下问题：

（1）材料理解：一元二次方程5x²+10x﹣1＝0的两个根为x₁ ， x₂ ，则x₁+x₂＝，x₁x₂＝.

（2）类比探究：已知实数m，n满足7m²﹣7m﹣1＝0，7n²﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m²n+mn²的值：

（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足19s²+99s+1＝0，t²+99t+19＝0，且st≠1.求 $\text{[math]}$ 的值.

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25. 如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm.

（1）点 P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由.

（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点 Q沿射线 CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm²？

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2023年浙教版数学八年级下册第二章一元二次方程（进阶版）

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共9题，共72分）

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