2022-2023学年苏科版数学七上尖子生考点培优专题训练3 定义新运算

1. 如果规定符号“*”的意义为：a*b $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . 6 B . －6 C . $\text{[math]}$ D . － $\text{[math]}$

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2. 现定义一种新运算“*”，规定 $\text{[math]}$ ，如 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 11 B . －11 C . 7 D . －7

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3. 规定新运算“⊕”：对于任意实数a、b都有 $\text{[math]}$ ，例如： $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ 的解是（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4.
对于有理数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 化简后得（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 任意四个有理数a、b、c、d，定义了一种新运算： $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则x的值为（）

A . 2 B . 3 C . 6 D . $\text{[math]}$

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6. 若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则 $\text{[math]}$ 的值为（　　）

A . 2017 B . 2016 C . 2017！ D . 2016!

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7. 已知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =10， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =15，……观察以上计算过程，寻找规律．计算 C₈5=（）

A . 72 B . 56 C . 42 D . 40

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8. 已知：[x]表示不大于x的最大整数．例：[3.6]＝3，[﹣0.9]＝﹣1，现定义：{x}＝x﹣[x]，例：{1.6}＝1.6﹣[1.6]＝0.6，计算{4.9}﹣{﹣1.8}的结果为（）

A . 6.7 B . 3.1 C . 1.1 D . 0.7

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9. 我们常用的十进制数，如2639＝2×10³＋6×10²＋3×10¹＋9，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如2513＝2×7³＋5×7²＋1×7¹＋3），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）

A . 1435天 B . 565天 C . 365天 D . 13天

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10. 已知有理数 $\text{[math]}$ ，我们把 $\text{[math]}$ 称为 $\text{[math]}$ 的差倒数，如：2的差倒数是 $\text{[math]}$ ，-1的差倒数是 $\text{[math]}$ ．如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的差倒数， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的差倒数， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的差倒数…依此类推，那么 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . -3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 规定一种新运算：a⊗b＝a²﹣2b，若2⊗ [ 3 ⊗（﹣x）]＝6，则x的值为

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12. 如果定义新运算： $\text{[math]}$ ，那么（1※2）※3的值为．

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13. 定义一种新运算“※”：对于任意有理数x和y，x※y= $\text{[math]}$ （a为常数）.例如：2※3=2×3+（2+3）a+1=5a+7.若2※（-1）的值为3，则a的值为.

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14. 定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．则（﹣2）⊕3＝．

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15. 如图定义一种新运算“⊗”，如：2⊗1＝ $\text{[math]}$ ＝2；x⊗y＝ $\text{[math]}$ ，则（4⊗2）⊗（﹣1）＝．

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16. 已知a，b均为有理数，现我们定义一种新的运算，规定：a#b＝a²+ab﹣5，例如：1#2＝1²+1×2﹣5＝﹣2，则（﹣3）#6的值是 .

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17. 已知a，b为有理数，如果规定一种新的运算“※”，规定：a※b＝2b﹣3a，例如：1※2＝2×2﹣3×1＝4﹣3＝1，计算：（3※2）※5＝．

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18. 符号“ $\text{[math]}$ ”表示和，如 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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19. 符号“ $\text{[math]}$ ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …；
② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …．
利用以上规律计算： $\text{[math]}$ =．

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20. 在计算 $\text{[math]}$ 的值时，可设 $\text{[math]}$ ， ①则 $\text{[math]}$ ②．∴②-①，得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，试利用上述方法求 $\text{[math]}$ 的值：．

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21. 若“三角表示运算a﹣b+c，“方框” 表示运算x﹣y+z+w.求： × 表示的运算，并计算结果.

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22. 已知x，y为有理数，现规定一种新运算“ $\text{[math]}$ ”，满足 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请猜想P与Q的数量关系，并说明理由．

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23. 设 $\text{[math]}$ 为实数，则我们把形如 $\text{[math]}$ 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为 $\text{[math]}$ ，请利用此法则解决以下问题：

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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24. 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab²＋2ab＋a，如：1☆3＝1×3²＋2×1×3＋1＝16．

（1）求（－2）☆3的值；

（2）若（ $\text{[math]}$ ☆3）☆ $\text{[math]}$ ＝8，求a的值；

（3）若2☆x＝m， $\text{[math]}$ ☆3＝n（其中x为有理数），写出m，n的大小．

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25. 用“⊗”定义一种新运算：对于任何有理数x和y，规定x⊗y＝ $\text{[math]}$ ．

（1）求2⊗（﹣3）的值；

（2）若（﹣a²）⊗2＝m，求m的最大整数；

（3）若关于n的方程满足：1⊗n＝﹣ $\text{[math]}$ n﹣2，求n的值；

（4）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ t³+2t²+3t+1，且A⊗B＝﹣2，求5+12t﹣2t³的值．

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26. 对于有理数a，b，定义了一种新运算“※”为： $\text{[math]}$ ，如：5※3＝2×5﹣3＝7， $\text{[math]}$ ．

（1）计算：①2※（﹣1）＝；②（-4）※（﹣3）＝；

（2）若3※m＝﹣1+3x是关于x的一元一次方程，且方程的解为x＝2，求m的值；

（3）若A＜B，A＝﹣x³+4x²﹣x+1，B＝﹣x³+6x²﹣x+2，且A※B＝﹣3，求2x³+2x的值．

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27. 阅读下列材料，并解决下面的问题：
我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子 $\text{[math]}$ 可以变形为 $\text{[math]}$ 也可以变形为 $\text{[math]}$ .在式子 $\text{[math]}$ 中，3叫做以2为底8的对数，记为 $\text{[math]}$ 一般地，若 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 叫做以 $\text{[math]}$ 为底 $\text{[math]}$ 的对数，记为 $\text{[math]}$ 且具有性质：

$\text{[math]}$

其中 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$

根据上面的规定，请解决下面问题：

（1）计算： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ (请直接写出结果)；

（2）已知 $\text{[math]}$ 请你用含 $\text{[math]}$ 的代数式来表示 $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ (请写出必要的过程).

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28. 对于数轴上的两点P ， Q给出如下定义：P ， Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P ， Q两点的友好距离，记为（POQ）．
例如：P ， Q两点表示的数，如图1所示：则（POQ）＝|PO﹣QO|＝|2﹣1|＝1．

（1） A ， B两点表示的数，如图所示：

①A ， B两点的友好距离为　 ▲ 　；

②若C为数轴上一点（不与点O重合），且（AOB）＝2（AOC），求点C表示的数；

（2） M ， N为数轴上的两点（点M在点N左边），且MN＝4，若（MON）＝2，直接写出点N表示的数．

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29. 定义：若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为数轴上三点，若点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离是点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离2倍，我们就称点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的美好点．
例如；如图1，点 $\text{[math]}$ 表示的数为-1，点 $\text{[math]}$ 表示的数为2．表示1的点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离是2，到点 $\text{[math]}$ 的距离是1，那么点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的美好点；又如，表示0的点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离是1，到点 $\text{[math]}$ 的距离是2，那么点 $\text{[math]}$ 就不是 $\text{[math]}$ 的美好点，但点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的美好点．

如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为数轴上两点，点 $\text{[math]}$ 所表示的数为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 所表示的数为 $\text{[math]}$ ．

（1）点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示的数分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中是 $\text{[math]}$ 美好点的是；写出 $\text{[math]}$ 美好点 $\text{[math]}$ 所表示的数是．

（2）现有一只电子蚂蚁 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 开始出发，以 $\text{[math]}$ 个单位每秒的速度向左运动．当 $\text{[math]}$ 为何值时，点 $\text{[math]}$ 恰好为 $\text{[math]}$ 的美好点?

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2022-2023学年苏科版数学七上尖子生考点培优专题训练3 定义新运算

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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