山东省临沂市2021届高三数学二模考试试卷

1. 若集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则下面选项中一定成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知奇函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -11 B . -7 C . 7 D . 11

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3. “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 某校积极落实立德树人，坚持五育并举，计划在新学期开展球类、书法、健美操、棋类等四项社团活动，学校要求每位学生选择其中的两项，学生甲、乙、丙三人都已决定选择球类，三人再从其它三项中各选择一项，恰好三人的选择互不相同，乙比选棋类的人个头高，丙和选书法的人身高不同，选书法的人比甲个头小，则甲、乙、丙所选的第二项社团活动分别为（）

A . 书法、健美操、棋类 B . 健美操、书法、棋类 C . 棋类、书法、健美操 D . 棋类、健美操、书法

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5. 如图为一个圆锥形的金属配件，重75.06克，其正视图是一个等边三角形，现将其打磨成一个体积最大的球形配件，则该球形配件的重量约为（）

A . 32.69克 B . 33.36克 C . 34.03克 D . 34.37克

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6. 在天文学上恒星的亮度一般用星等来表示，直接测量到的天体亮度被称为视星等m，而把天体置于10秒差距的距离处所得到的视星等称为绝对星等M，它能反映天体的发光本领．如果我们观测到了恒星的光谱，可以知道一些类型恒星的绝对星等，就可以利用光谱视差法来获得这些恒星的距离．下表是某校天文爱好者社团在网上收集到一些恒星的相关数据，那么最适合作为星等差y关于距离x（光年）的回归方程类型的是（）

星名	天狼星	南河三	织女星	大角星	五车二	水委一	老人星	参宿四
距离x	8.6	11.46	25	36.71	42.8	139.44	309.15	497.95
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	0.26	0.59	3.15	4.88	5.92

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . 4 D . 6

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8. 点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交双曲线C于A，B两点，现将双曲线所在平面沿直线 $\text{[math]}$ 折成平面角为锐角 $\text{[math]}$ 的二面角，如图，翻折后A，B两点的对应点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 3

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9. 设函数 $\text{[math]}$ 的图象为曲线 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 将曲线 $\text{[math]}$ 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后与曲线 $\text{[math]}$ 重合 B . 将曲线 $\text{[math]}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\text{[math]}$ ，纵坐标不变，则与曲线E重合 C . 将曲线 $\text{[math]}$ 向左平移 $\text{[math]}$ 后所得图象对应的函数为奇函数 D . 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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10. 1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式 $\text{[math]}$ ，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在抛物线上， $\text{[math]}$ 为坐标原点．下列说法正确的是（）

A . 点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的中点到 $\text{[math]}$ 轴距离最小值为2 D . 若直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的斜率之积为 $\text{[math]}$

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13. $\text{[math]}$ 的展开式中常数项为．（用数字表示）

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14. 现有标号为①，②，③，④，⑤的5件不同新产品，要放到三个不同的机构进行测试，每件产品只能放到一个机构里.机构 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 各负责一个产品，机构 $\text{[math]}$ 负责余下的三个产品，其中产品①不在 $\text{[math]}$ 机构测试的情况有种(结果用具体数字表示).

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15. 随机变量X的分布列如下表：

X

1

2

3

p

a

b

c

其中a，b，c成等差数列，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是该多面体的三个顶点，点 $\text{[math]}$ 是该多面体表面上的动点，且总满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则该多面体的表面积为，点N轨迹的长度为．

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17. 在① $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 图象的一条对称轴，② $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一个零点，③函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，且 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知函数 $\text{[math]}$ ， ▲ ，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调递减区间．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 2021年是“十四五”规划开局之年，也是建党100周年．为了传承红色基因，某学校开展了“学党史，担使命”的知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图．

（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分 $\text{[math]}$ （同一组中的数据用该组区间中点值代表）；

（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩高于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人成绩在 $\text{[math]}$ 内的概率；

（3）假设竞赛成绩服从正态分布 $\text{[math]}$ ，已知样本数据的方差为121，用平均分 $\text{[math]}$ 作为 $\text{[math]}$ 的近似值，用样本标准差 $\text{[math]}$ 作为 $\text{[math]}$ 的估计值，求该校本次竞赛的及格率（60分及以上为及格）．
参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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19. 已知正项数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证：数列 $\text{[math]}$ 为等差数列；

（2）若从数列 $\text{[math]}$ 中去掉数列 $\text{[math]}$ 的项后余下的项按原来的顺序组成数列 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．

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20. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值．

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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆 $\text{[math]}$ 过焦点 $\text{[math]}$ ．

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）若椭圆 $\text{[math]}$ 的右顶点为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴不垂直的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 点不重合），且满足 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，求直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的斜率之积的取值范围．

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线过原点，求 $\text{[math]}$ 的值；

（2）在（1）条件下，若 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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山东省临沂市2021届高三数学二模考试试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、双空题

五、解答题

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