湖南省2021届高三下学期数学三模试卷

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点的坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检（）

A . 20家 B . 10家 C . 15家 D . 25家

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4. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 到其准线的距离为4，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 8 C . $\text{[math]}$ D . 4

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5. 《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作.其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同）.二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至后的那个节气（小暑）晷长为（）

A . 五寸 B . 二尺五寸 C . 三尺五寸 D . 四尺五寸

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6. $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为其左、右焦点， $\text{[math]}$ 为坐标原点.若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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7. 在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 以上三种情况都有可能

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8. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（）

A . 二项式系数和为64 B . 各项系数和为64 C . 常数项为-135 D . 常数项为135

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9. 已知函数 $\text{[math]}$ .（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的极小值点为 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 在定义域内不单调，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 且曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与曲线 $\text{[math]}$ 相切，则 $\text{[math]}$

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10. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，沿对角线 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的有（）

A . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 四个面都是直角三角形 C . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ D . 过 $\text{[math]}$ 的平面与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最小值为 $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ，且对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，下列说法正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减，则 $\text{[math]}$

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12. 已知单位向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为．

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13. 函数概念最早出现在格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》（1667年）中.他定义函数是这样一个量：它是从一些其他量出发，经过一系列代数运算而得到的，或者经过任何其他可以想象到的运算得到的.若一个量 $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ 所对应的函数值 $\text{[math]}$ 可以通过 $\text{[math]}$ 得到，并且对另一个量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则都可以得到 $\text{[math]}$ .根据自己所学的知识写出一个能够反映 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式：.

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14. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是.
①“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形；

②“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；

③三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为 $\text{[math]}$ ；

④三组对棱长度分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“等腰四面体”的外接球直径为 $\text{[math]}$ .

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15. 直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为；此时 $\text{[math]}$ .

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16. 已知数列{a_n}满足 $\text{[math]}$ ，a₂-a₁=1.

（1）证明：数列 $\text{[math]}$ 是等比数列；

（2）若a₁= $\text{[math]}$ ，求数列{a_n}的通项公式.

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17. $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边.已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

（2）求 $\text{[math]}$ .

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18. 为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者最担心接种疫苗后会有副作用.其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用.在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现.为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下：

	无疲乏症状	有疲乏症状	总计
未接种疫苗	100	20	120
接种疫苗	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
总计	160	$\text{[math]}$	200

（1）求 $\text{[math]}$ 列联表中的数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值，并确定能否有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.

（2）从接种疫苗的 $\text{[math]}$ 人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，设得分结果总和为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.

$\text{[math]}$	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010
$\text{[math]}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

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19. 已知 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）证明：数列 $\text{[math]}$ 是等比数列；

（2）求 $\text{[math]}$ ．

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20. 如图，在四棱台 $\text{[math]}$ 中，底面为矩形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

（2）若函数 $\text{[math]}$ 存在两个极值点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ，求使不等式 $\text{[math]}$ 成立的 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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22. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，离心率 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上一动点，证明 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离与 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离之比为定值，并求出该定值；

（2）设 $\text{[math]}$ ，过定点 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 轴始终平分 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 点的坐标；若不存在，请说明理由．

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湖南省2021届高三下学期数学三模试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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